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Prenant lé seoment p’#—zxg, on aura zg up" = uk et la proportion 
devient 
p'g : EF— uh: uk. 
Menant ÆE/ parallèle à la sécante Mc, et rencontrant en 7 le rayon prolongé 
Fy, il est évident que dans le rectangle Ey”ÿ1, on aura p'ÿ — El; et la pro- 
portion deviendra 
7) El: EF = uk: uk. 
Ceite proportion fait reconnaître que les triangles FE7, Æ{uh, sont sem- 
blables, puisqu'ils ont un angle égal FE7=— kuh (à cause des parallèles E7, u4), 
compris entre deux côtés proportionnels FE, ET, et Æu, uk. Donc joignant 4h, l'angle 
hu est égal à l’angle droit Æ7E. Or la droite 04 a été menée perpendiculaire- 
ment sur ÆF, Donc Zs lignes oh, hk, elant perpendiculaires, chacune sur EF, 
ne font qu'une seule el même droite ohk. 
Le segment #p” est tangent au cercle E en p’, et égal au segment xy/, 
tangént au cercle F en 9°, et égal par le théorème No. 20, à la tangente or 
menée du point o au cercle E. Donc les triangles rectangles #p/E, orE, sont 
égaux entr'eux, parce que leurs côtés le sont. Par conséquent leurs hypoté- 
nuses Ë4, Eo, sont égales entr'elles, c'est-à-dire que le triangle 4Eo est isos- 
cèle. Donc la base de ce triangle, étant perpendiculaire sur Ez, est divisée en 
deux parties égales en 4. Donc, cette même base étant perpendiculaire sur 4h, 
le triangle #zo sera isoscèle pareïllement. Il suit de à que l'angle au sommet 4zo 
est divisé en deux parties égales par la ligne des centres £F, c'est-à-dire que 
les droites zu, ou, sont également inclinées, de part et d'autre, vers la ligne des 
centres ÆF. Or la droite zu touche les deux circonférences E, F Par con- 
séquent la droite ou sera pareïillement langente aux deux circonferences E, F; 
ce qu'il fallait démontrer. 
x 
De la même manière on parvient à démontrer que pv est fangente aux 
cercles F, D, et que gw est tangente aux cercles D, E. 
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