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D'abord, le quadrilatère Mrfs est inscripüble au cercle, à cause des angles 
droits Mrf, Msf. Partant les angles Mrs— Ms, Msr — Mfr. Or les angles 
Ms + [Ms = 90°, Mab + Mbc À Mcb — 90°, et l'angle /Ms — Mbc + Mb, 
donc l'angle #5 — Mab, donc Mrs — Mab. Par conséquent, joignant rs, cette 
droite est parallèle au côté ab, d'où l’on conclut: 
Ma : ar —= Mb : bs. 
Abaissant les perpendiculaires MB, rx, sur ca et MA, sy, sur bc, on aura 
Ma : or = MB : rx 
Mb : bs — MA : sy 
partant 
MB : rx = MA : 57. 
Or les perpendiculaires M4, MB, sont égales entr'elles, eomme rayons du 
cercle inscrit M. On conclut donc cette première équation: 
09 NE Fm 
Ensuite, le quadrilatère fpdr étant inseriptible au cercle à cause des angles 
droiis /pd, frd, on a l'angle for — fdr — mdu. Dans le quadrilatère dump in- 
scriptible à cause des angles droits dmp, dup, on a les angles mdu — mpu. Donc 
l'angle fpr — mpu, partant for + rpm — rpm + mpu, ou fpm = rpu. Vans le 
quadrilatère rupz inscriptible à cause des angles droits rwp, rxg, on a l'angle rpu 
ru. Donc l'angle fpm—rxu, ou fpk = rru. Abaissant la perpendiculaire 
fo sur pu, le quadrilatère fvpk inscriptuble à cause des angles droits /rp, fAp, 
donne l'angle fpk = fvk, et par conséquent l'angle rzu —fv4. Les lignes 4, fo, 
étant parallèles à rx, ru, respectivement, on aura l'angle urz — fr. Donc les 
triangles wrz, 4fv, sont semblables, ce qui donne la proportion: 
2 MERE fes fe 
Pareillement, de l'autre côté, abaissant la perpendiculaire fw sur ot, on fera 
les conclusions suivantes: 
le quadr. inscript. foes donne l'angle fos — fes = let 
le quadr. inseript. eflo donne l'angle /t = Li 
