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42,  Théoreme. 
(Fig. 6.) Une droite ac élant divisée harmoniquement ou en segmens pro- 
porlionnels en b, d; les droiles menées aux pornis de division d'un point quel- 
conque e, coupent harmoniquement ou en segmens proportionnels toute autre droite 
{h, siluée dans le même plan. 
Je pourrais renvoyer, pour la démonstration, à celle que Mr. de Carnot 
a publiée dans son Essai sur la théorie des transversales (Paris 1806. Théo- 
rème VII) Mais comme l'illustre auteur fait usage d'expressions trigonomé- 
triques, un procédé de simple Géométrie doit paraître plus naturel. 
La division harmonique de la droite abcd donne: 
AD: DE, == 4 + dt 
1) 4 ou BE. cd = be x" 06 
Les sécantes ea, eb, ec, ed, coupant l’autre droite en f, g, #, 4, respective- 
ment, on mènera d'abord aw, cx, parallèles à «bg, ce qui donne 
abs. be we 187 
et menant ensuile ay, cz, parallèles à ed4, on aura 
ad : de —= yk : &z 
d'où l'on conclut par la proportion 1. 
DNA: TRE, HUE 
cx parallèle à eg donne ec : eh = gx : gh 
cz parallèle à edk donne ec : eh — kz : Kh 
aw parallèle à eg donne ef : ea — fg : we 
ay parallèle à ed4 donne ef: ea = fk: ÿ4. 
On aura donc 
ou co ex: th 
Fes =-fh- 58 
et puisque 
my ex — vie ke 
