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Multipliant les équations 3. / f ., et effaçant les communs facteurs on trouve: 

 fjg _|_ eh -\-fk) -dgeh fk — lo 2 ■ mp 2 ~\-mp 2 . n a 2 -\-nç 2 . lo 2 

 ( ou (Jdef) 2 = lo 2 -mp 2 -\-mp 2 -nq 2 --\-nq 2 ■ lo 2 . 

 Le rayon du cercle Inscrit au triangle def est 



C NI- Nm zzNn- A *ï< n - %M = V( ? g "*,? k i ) = — ^ 



) dg-^eh-^/k âdef W + 'A-f-/*/ àdcj 



) lo • mp ■ rtq 



' Y ('o 2 -mp 2 -f mp 2 ■ nq* -J- aq 2 .lo*)' 



o']. Théorème, 

 (Fig. i.) Dans un an^le bca m c étant inscrits un cercle tangent f, et 

 deux autres cercles e, d, tangens au premier f en /, m, et qui se touchent en n; 

 si Von forme un rectangle entre le rayon du cercle touché f, et la somme de ce 

 rayon multiplié par le cosinus de £, plus les deux communes tangentes intérieures 

 lo, mp, multipliées chacune par le sinus de £; ce rectangle est à celui des tan- 

 gentes lo, mp, comme V unité augmentée du cosinus de £, est à l'unité. 



D'après ce qui vient d'être prouvé dans l'Analyse du problème, les lignes 

 tmg , ut'mw'z, sont droites, le quadrilatère kmg'u est inscriptible au cercle et ht' 

 est perpendiculaire sur la corde de contingence kk '. Par conse'quent les triangles 

 rectangles semblables g'kt, ui'z, uM ', donnent les analogies: 



s kg : kt zzz. Ui' : vz 

 i kg : kl — uk : M 



partant 



kg : kt — h : vz — M 



substituant les valeurs 



kg' ZZ imp, kt ~ ifk y kV ~ 2/^.sin.— 



kv ZZ kl/ -f- 1/v — ofk, • cos. -— -j- 2 lo • sin. — - 



v z ZZ vh 4- hz zz 2 lo • cos. \- 2 lo. 



On obtient: 



mp : fk — fk • cos. — -|- lo • sin. — : lo (1 -f- cos. — ) — fk • sin. y 



