— 56C — 



on obtient l'équation 



(lo • cos. J jk* sin. -i-). ♦ (mp • cos. — — Jk * sin. y) ^35 4- _/&* 



conformément à l'énoncé du théorème. 



3cj. Théorème. 



(Fig. 1.) D#/zs «« flngA? hca — c , étant inscrits un cercle langent f, et 

 deux autres cercles e, d, iangens au premier en l, m, et gui se touchent en n; et 

 étant menées les deux communes tangentes intérieures lo, mp, qui coupent les côtés 

 en 0, p; le rectangle entre les excès des distances des intersections 0, p, au som- 

 met c, sur la distance du centre f au sommet c , est au carré de cette distance, 

 comme le double carré du sinus de £, est à l'unité. 



Ensuite, les cercles f, d, touchant l'un des côtés de l'angle en k, g\ et la 

 tangente lo le coupant en l, si l'on prend les points n, o, a, tels que les segmens 

 en, co, pa, soient respectivement égaux à cj, co, pn; le point n d'wiscra en seg- 

 mens proportionnels les lignes cq, pk, et les lignes cp, çk. Puis, Joignant fa, 

 Vangle "kjb sera égal au quart de l'angle c. 



Les droites^//;, tmg , sont perpendiculaires sur km, et par conséquent paral- 

 lèles. Donc les angles fpn zzz mg'k. Dans le quadrilatère kmg'u inscripûble au 

 cercle , on a les angles mg'k — muk. Donc les angles jpre ~ muk — zuk'. De 

 plus, les angles fnp — zk'u — gO° -j- £. Par conséquent les triangles fnp, zk'u, 

 sont semblables, ce qui donne: 



C fn .' np ~ zk' : k'u 

 l ou \fn: np ~ frk' : k'u. 



Prenant cep ~ en ~ cf, on aura les angles f(po — frk'u =z go° -|- {. Les 

 droites fo, hlf, étant perpendiculaires sur k'I, et par conséquent parallèles, on aura 

 les angles fo(p — Ihk'. Dans le quadrilatère k'ihd- inscriptible au cercle, on a les 

 angles Ihk — lirlé — uQk' . Donc l'angle foep zzz ufrk'. Par conséquent les 

 triangles foep, u&k , sont semblables , ce qui donne 



2.) 3k' : k'u — o<p : ftp. 



