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On tire des proportions i. 2. la suivante 



\fn : rep =s= oep : fy 



ou 



substituant les valeurs 



np ■ otp — \fn -ftp 



fit — ftp — acf '• sin.£ 

 oy ~ oc — cf np zzz cp • — cf 



on obtient : 



^ (oc — cf) ■ (cp — cf) — i cf ■ sin. 2 £ 



(ou (oc — cf) ■ (cp — cf) : cf 1 — 2sin. 2 5 / i. 



La sécante Ec perpendiculaire sur fit, la coupant en deux parties c'gales 

 en r, donne le quadrilatère cfxk inscriptible au cercle, et partant l'équation 



\fn ■ ftp ~ fit ■ nv zzz kn ■ ne 

 et puisque cq — oc, 0(p zzz qtï, on aura : 



r 071 • np zzz kn ■ TTC 



4) < ou ctc : TiQ ~ pn : nk 

 ( ou en : rep zzz Qji : nk. 

 Joignant pv, on aura fc zzz xn, npzzzpa, et par conséquent pi parallèle à 

 fa, qui coupe la sécante Ec en ip. Donc les angles fxjjv — pxyj zzz Erp. Le 

 quadrilatère Epnx, inscriptible au cercle à cause des angles droits Epn, Evn, 

 donne l'angle Erp zzz Enp zzz cEn -f- Ecn. Donc l'angle fijiz ~ cEn '-j- Ecn. 

 Or l'angle ftfjv zzz cEf~\- Efy zzz cEn ~\- If a. Par conséquent l'angle Xfa zzz Ecn 

 — {, ce qu'il fallait démontrer. 



4o. Théorème. 

 (Fig. 5.) Dans un triangle abc étant inscrits un cercle M et trois cercles 

 iangens d, e,f dont l'un seulement, scwoir le cercle f est touché par les deux au- 

 tres, en l, m; ayant mené les communes tangentes intérieures lo, mp , qui coupent 

 les côtés en o,p; et ayant joint les droites fo , fp; si on les projette sur les sé- 

 cantes Mb, Me, les projections st, ru, sont égales enir'elles. 



Mem. des sav, e'trang. T. I. n '2 



