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42. Théorème. 



(Fig. 6.) L'ne droite ac étant divisée harmoniquement ou en segmens pro- 

 portionnels en b, d; les droites menées aux points de division d'un point quel- 

 conque e, coupent harmoniquement ou en segmens proportionnels toute autre droite 

 y li, située dans le même plan. 



Je pourrais renvoyer % pour la démonstration, à celle que Mr. de Carnot 

 a publie'e dans son Essai sur la théorie des transversales (Paris 1806. The'o- 

 rème VIL) Mais comme l'illustre auteur fait usage d'expressions trigonome'- 

 triques, un proce'de' de simple Ge'ome'trie doit paraître plus naturel. 



La division harmonique de la droite abcd donne: 

 f ah : bc — ad : de 



\ bc : cd ~ ha : od. 



Les se'cantes ea, eh, ce, ed, coupant l'autre droite en y, g, h, k, respective- 

 ment, on mènera d'abord aw, ex, parallèles à ebg, ce qui donne 



ab : bc rn wg : gx 

 et menant ensuite ay, cz % parallèles à edk, on aura 



ad : de — yk : kz 

 d'où l'on conclut par la proportion 1. 



2) ag : gx — yk : kz 

 ex parallèle à ebg donne ce : eh — gx : gh 

 cz parallèle à edk donne ec : eh — kz : kh 

 aw parallèle à ebg donne ey : ea — y g : wg 

 ay parallèle à edk donne ej "': ea ~ yk : yk. 

 On aura donc 



gx : gh — kz : kh 

 y g : wg — yk : yk 

 et puisque 



Wg : gx ~ yk : kz 



