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on conclut ex aequo 



fg : gh ~ fh : M 

 ce qu'il fallait démontrer. 



43. Théorème. 

 (Fig. 7.) Dans un triangle abc étant inscrits un cercle M, qui touche les 

 côtés en A, B, C, et deux cercles tangens d, e, qui se touchent en n, et qui sont 

 tangens à la base ab en g, h', et aux côtés ca, bc, en g', h. 



Si Ion joint les extrémités de la base ab au contact n, les droites an, bn, 

 vont couper la circonférence M en r, s, ensorle que la corde rs est un diamètre; 

 et elles divisent harmoniquement les sécantes Ma, Mb, en u, v. 



Puis, joignant les intersections s, r, avec les centres d, e, les droites sd, re, 

 se coupent mutuellement dans un point f de la base ab, tel que si t est îintersec- 

 iions de la base par le diamètre prolongé rs, elle soit divisée harmoniquement dans 

 les points f, t. 



D'abord, les triangles semblables agd, aCM, donnent 

 C ad : dg — aM : MC 

 ** l ° U ad : dn = aM : Mr. 

 Les triangles semblables bh'e, bCM, donnent 



C be : eh' ~ bM ; MC 



2) i ° U be : en — bM ; Ms. 

 Donc, si parmi les deux intersections de la circonfe'rence M par chacune 

 des droites an, bn, on choisit celles, pour lesquelles l'angle arM est de la même 

 espèce avec and; et l'angle bsM avec bne, les proportions 1. 2. indiquent que les 

 rayons Mr, Ms, sont parallèles à la ligne des centres de, d'où il re'sulte que rs 

 est un diamètre du cercle M. 



On en conclut que, les points a, v, étant les intersections des droites Mda, 

 Meb, par bn, an, respectivement, on aura 



Mu : ud z=z Ms : dn 

 Ma : ad =: Mr : dn 



Jflt'm. des sav. e'trang. T. I, 7$ 



