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Mv : ve ~ Mr : en 

 Mb : be m. Ms : en 

 d'où l'on tire les proportions 



<- Mu : ud == Ma : ad 

 3 ) \ Mv : ve —Mb : be 

 qui indiquent la section harmonique de Md en w, a; et de Me en p, £. 



Cela prouve', le the'orème du No. 4 2 fait reconnaître que, le diamètre rs 

 coupant la base en /, si les lignes sd, re, la coupent en /, /', elle doit être di- 

 vise'e harmoniquement en /, /, et en /, /', de sorte qu'on ait 



af : fb = af : fb - at : tb. 

 Par conse'quent ces deux intersections sont nécessairement identiques. 



44> Théorème. 

 (Fig. 5.) Dans un triangle abc étant inscrits un cercle M , et trois cercles 

 tangens d, e, /, dont l'un seulement, savoir le cercle f, est touché par les deux 

 autres en /, m ; si Von joint ces contacts avec les extrémités de la base ab , les 

 droites am, bl, vont concourir dans un même point z de la sécante Me, et la 

 distance des centres M f est divisée harmoniquement en z, c. 



Car, supposons que la sécante Me soit coupe'e par les droites am, bl\ en z, 

 z\ on aura par le the'orème No. fô, les proportions 



Mz : zf — Me : cf 

 Mz' : z'f ~ Me : cf 

 d'où l'on conclura e'videmment que les intersections z, z', sont identiques. 



45. Problème. 

 (Fig. 8.) Dans un triangle abc inscrire deux cercles tangens d, <?, ou D, E, 

 tels que la ligne qui joint leurs centres, soit parallèle à une droite fk donnée de 

 position. 



Inscrivez au triangle donne' le cercle M , et menez son diamètre rs paral- 

 lèle à fk. Joignez ar, bs, qui se coupent en n; et as, br, qui se coupent en N. 

 Ces intersections «, N, seront les contacts demande's. Menez par ces points de 



