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47. Problème. 



(Fig. 9.) Dans un triangle abc inscrire deux cercles tangens d, e, ou D, 

 E, tels que la commune tangente intérieure nq ou Nq , qu'on leur aura menée, 

 coupe la base ab dans un point donné q. 



Inscrivez dans le triangle donne' le cercle M, qui touche le côte' bc en A. 

 Joignez Ma, Mb, et du point donne' q abaissez une perpendiculaire q'L sur l'une 

 des se'cantes, qui coupe l'autre en 0. Décrivez un cercle R, dont la circonfé- 

 rence passe par les points L, 0, et dont le diamètre soit e'gal à la tangente Ac. 

 Du centre q de'crivez deux circonférences concentriques et tangentes à la circon- 

 férence R. Ces deux circonférences vont couper la base, l'une en g, h', l'autre 

 en G, H', points de contact de la base par les cercles demande's. Elevez des 

 perpendiculaires sur ces points., qui rencontrent les se'cantes Ma, Mb, dans les 

 centres des cercles demande's. 



Cette solution est tire'e du the'orème No. 46 , <jui donne les relations entre 

 les tangentes Nq, nq, savoir 



JVq — nq riz. Ac 



nq-qN — Lq-qO. 



48. Problème. 



(Fig. 10.) Dans un triangle abc inscrire trois cercles tangens d, e, f, 

 ou D, E, F, tels que les contacts des deux premiers par les côtés bc, ca, se 

 confondent avec les contacts du troisième cercle par les mêmes côtés. 



D'abord, inscrivant le cercle M qui touche les côtés en A, B, C, il est évi- 

 dent que si les cercles d, e, touchent les côtés ca, bc, en g, h, les perpendicu- 

 laires élevées sur ces points, doivent concourir dans un même point y de la sé- 

 cante Me, qui sera le centre du troisième cercle. 



Par conséquent les tangentes Bg, Ah, doivent être égales entr'elles. Or si 

 les cercles d, e, touchent la base ab en g, h', on a Bg zzzCg, et Ah -=z Ch. 

 Il suit de -là que les tangentes Cg, Ch', doivent être égales entr'elles, c'est-à-dire 

 que C doit être le milieu de la tangente gh'. 



