Q 1. Toutes les questions qui dépendent de la loi de répartition des nombres pre- 
miers dans la série 
1,2, 3,4%, 5, 6,7, 8, 9, 10, 11, 12, etc. 
présentent en général de grandes difficultés. Ce qu'on parvient à conclure d’après les 
tables des nombres premiers avec une probabilité très grande, reste le plus souvent sans 
démonstration rigoureuse. — Par exemple, les tables des nombres premiers nous portent 
à croire qu'a partir de a > 3, il y a toujours un nombre premier plus grand que a et 
plus petit que 2a—2 (ce qui est le postulatum connu de M. Bertrand(*)); mais jusqu'à 
présent la démonstration de cette proposition a manqué pour des valeurs de a&, qui sur- 
passent la limite de nos tables. La difficulté devient encore plus grande, quand on se 
donne des limites plus étroites, ou qu'on demande à assigner la limite de a audessus 
de laquelle la série 
D Londt 1hre eme one 2a— 2 
contient au moins deux, trois, quatre, etc. nombres premiers. 
Il y à une autre espèce de questions très difficiles qui dépendent aussi de la loi de 
répartition des nombres premiers dans la série 
209, RS GE 54,089 10H46 etc. 
et dont la résolution est très nécessaire. Ce sont les questions sur la valeur numérique 
des séries, dont les termes sont des fonctions des nombres premiers 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, cc. 
Euler a prouvé que la série 
Le Lin Lo 1 1 ; 
CUT He TT dr Lac 
devient divergente pour les mêmes valeurs de «& que celles qui rendent divergente la série 
1 L 1 1 1 
ge Fou za ie he 
1 
+a + etc. » 
(*) Journal de l’école polytechnique, cahier XXX. 
Mém. des sav. étrang. T, VII 3 
