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savoir, pour « £1. Mais pour certaines formes du terme w, la convergence de la série 
U, + EU, FU, HU, +U, HU, + ec. 
n'est plus une condition nécessaire pour que la série 
UHR + HU, Es etc. 
À 1 : 
conserve une valeur finie. Tel est, par exemple, le cas de u, =". En effet, la 
L-] 
valeur de la série 
1 1 Ms 1 un 
Dlog 2 * 3log3 5 log 5 7 log 7 
comme il sera prouvé plus tard, ne surpasse pas 1,73, tandis que la série 
1 1 1 1 1 
Dire Se AA D OO ES 
—+- ebc.» 
est divergente. Quel est donc le criteriun de la convergence des séries qui ne sont 
composées que de termes aux indices premiers 2, 3, 5, 7, 11, etc.? Et, dans le cas 
de leur convergence, comment assigner le degré d'approximation de leurs valeurs, cal- 
culées d'après leurs premiers termes? La résolution de ces questions par rapport aux 
séries de la forme : 
U, HU, ++ UE U U,y+ etC. 
est très intéressante, car on les rencontre dans certaines recherches sur les nombres. 
- Ce mémoire contient la résolution des questions citées. J'y parviens en-traitant la 
fonction qui désigne la somme des logarithmes des nombres premiers au dessous d'une 
limite donnée. D'après une équation que cette fonction vérifié, on peut assigner deux 
limites entre lesquelles tombe la valeur de cette somme. Parmi les différentes conclusions 
que nous en tirons, nous parvenons à assigner des limites entre lesquelles on trouve tou- 
jours au moins un nombre premier, ce qui nous conduit très simplement à prouver le 
postulatum cité de M. Bertrand. — Quant à l'évaluation des séries de la forme 
UERUS HU, HU, HE U,, + ele., + 
nous trouvons le criterium pour juger si elles sont convergentes ou divergentes, et dans 
le premier cas, nous donnons la méthode pour calculer, avec un certain degré d’approxi- 
mation, la différence de la valeur de ces séries avec la somme de leurs premiers termes. 
Nous donnons aussi une formule pour calculer, par approximation, combien il y a de 
nombres premiers qui ne surpassent pas une valeur donnée, et nous assignons la limite 
de l'erreur de cette formule, ce qu'on ne pouvait faire jusqu'à présent. Dans un mé- 
moire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie de St.-Pétersbourg, l'an 1848, 
j'ai prouvé que, si on rejette, dans l'expression de la totalité des nombres premiers qui ne 
surpassent pas æ, tous les termes qui sont zéro par rapport à 
æ æ æ 
2 
log x ” log ? x Door 
