Sur les nombres premiers. @) 25 
TAOMO OO CE) 
Si nous supposons actuellement que » soit le plus grand nombre entier qui vérifie la 
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®_ tombera entré 4 et ét en examinant la valeur 
condition _ > 1, la quantité s = 6”? 
que prend #(z) —f(z) dans les limites z—1, — on reconnaîtra que #(z)— 0, et que 
— f(2) reste au-dessous de 1. Donc w (ner) —f Grn)<t et d'après les inégalités 
précédentes w (x) — f(x) < 1. 
Enfin, en substituant pour f sa valeur, nous aurons 
pa) <+ 4x + 
TS NUE LH— + log æ + 1. 
D'après les formules que nous venons de trouver, il ne sera pas difficile d’assigner deux 
limites entre lesquelles tombe la valeur de O(x), c'est à dire la somme des logarithmes 
de tous les nombres premiers qui ne surpassent pas æ. 
En effet, d'après (3) nous trouvons 
w (x) — y (x)? = O(x) + (x) + O(x)5 + etc., 
y (x) — 2w (x)? = 0 (x) 2 [0 (x)? 0 (% CHAUC 24 — 0(x)5]— ete, 
ce qui prouve que | | 
_ ur us ce : 
O(x)zw(x)—w(x)?, O(x) = w(x)—2p(x)?, . . . . (6) 
car les termes 
| qui des {19 Ô - 1 1 SOXHON en 
Ofz)s, O(ejs .… O(æx)?— 0(x)*, O(x)1—0(x)5, 
sont évidemment positifs ou zéro. ce 
Mais nous venons de trouver 
y (x) € $Ax + 
n clos” + log æ +1, 
p(æ)> Az — Ÿ log & — 1, 
ce qui donne 
y (@r<$ PPLES 
Riel z+ + lgr+i, 
p (DT > A6? — log z —1, 
et par conséquent 
y (x) — w (a)? <£ 6 Ax — Az? HE Tnse 18° 2 + Sloge+2, 
Mém. des sav. étrang. T. VII. " & 
