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2 (x)? > da — À Air log?æ—©1 3 
y (x) —2w (a)? > da —e Au? — log æ — > log x — 3. 
Donc d'après (6) 
O(x) as be Abe ZE 
c log” LH — à log æ +2 
Fr NÉ RERe. 
O(x) > An AxT — Es log æ — 7 logr —3 
Ainsi nous arrivons à la conséquence que la somme des logarithmes de tous les nombres 
premiers qui ne surpassent pas æ, est comprise dans les limites 
À 4x — 4x7 + cl” LT + — + log æ +2, 
A&—Ÿ Az? — poules z — log x — 3. 
6 6. Voyons maintenant ce qu'on peut tirer de ces formules sur la totalité des 
nombres premiers compris dans des limites données. Soit L et Z les deux limites en 
question, et supposons qu'il y ait »m nombres premiers plus grands que L et ne surpas- 
tant pas L: la somme des logarithmes de ces nombres sera comprise dans les limites 
mlog L, mlog L. Donc, d’après la notation que nous employons, on aura 
O(L)— O(1) > mlog 1, 
O (L) — O(1) < mlog L, 
et par conséquent 
6(1)— 6 () 
log L 
(] 0(L)—8() — 0 O, 
log 
M LL ———— m > 
Mais, d'après (7), nous trouvons que la valeur @ (L) — @ (l)est inférieure à 
AËL=D— ALTER )+ 
et surpasse 
ss pes. ii 
= Clog* L + log°Ù) + — + (2log L + 3 logl) +- 5, 
5 5 
sé (log* L + 2log*l)— > (3logL + 2logl) — 
Donc 
(2log*? L+log"1) ++ (2log L + 31log 1) + 5 
log L 
A(ÊL PU eut ; 
m < 5 
A(E—= D—A(ÊLE TE ? L+2l0g°1) —T(3l0g L + 2log 2) — 5 
TR —  _—_ __——] _ _————  _] — ——  __ _ __ _ __ _ 
log L 
Ainsi, nous trouvons deux limites entre lesquelles tombe la quantité m, qui désigne com- 
bien il y a de nombres premiers plus grands que /, mais qui ne surpassent pas L. — 
