28 (42 TCHÉBYCHEW. 
95 log2 (2x — So 19510g (2x — 3) 25 
= (23) 2x3) 16106. A … 244 64° 
et cette racine, nous la trouvons comprise entre les limites 159 et 160. 
Donc, toutes les fois que a surpasse 160, on peut assigner entre a et 2a — 2 deux 
nouvelles limites 
5 4 1 los? L 195logL 95 
= <= —— 2— — — — 
L 2L 16 10og 6. À 24 À 6A 
» L, 
et comme. celles-ci. comprennent nécessairement un nombre premier, on sera certain de 
trouver un nombre premier, qui surpasse a et reste inférieur à 2a — 2, ce qui prouve le 
postulatum de M. Bertrand pour toutes les valeurs de a qui surpassent 160. Quant aux 
valeurs de a qui ne sont pas plus grandes que 160, ce postulatum se vérifie directement 
à l’aide des tables des -nombrés premiers. * mr 
( 7. : Au moyen de la fonction © (x) que nous employons pour désigner la somme 
des logarithmes de tous les nombres premiers qui ne surpassent pas æ, on peut facilement 
exprimer la somme 
F(a)+F(8)+F(y)+...:+F(o) =U 
où &, 8, y,...@ sont les nombres premiers compris dans les limites données. En effet, 
si æ, 8, y,...0 sont compris dans les, limites { et L, cette somme peut être exprimée 
ainsi “D. Le 
8()—8(— 4): NE O(1-+-2) — 0 (141) O(L)—0(E—1) ) 
log ETS ER log (+ F(L Les log (+2) F(+2)+ ONE _… Jlog.L FE 
0 T — 8 x—1 7 . 1 “ 1. . 
D Pont pour æ entier, se réduit à 0, si æ est un 
log x 2 2 2 
nombre composé, et à,1, si æ est un i*hombre premier. : Donc 
car, en général, la fonction 
O(L)—8(L— 
8()—6(—1) es O(E+-2) —6(1) pr. 9 1) | 
Vi RO (EL) (EE) PDF (L), 
log log (414) (+ log (+2) 
ou, ce qui revient au même, 
F() F@  F(+1) F(+-1) F(1+-2) 
ES a(l Le 1) lt Cost “it 9 QE VE Ége Reg o(E+ 
F(L) ° . F(L+1) d F(L+4-1) 
= ler en ] 200) + 1o8(L+-1) O(L). 
Or, si nous süpposons que La fonction eeE dans les limites! & 71 et x — L +1, 
reste constamment positive et décroissante, le signe de. (Es 1) dans l'expression de U 
sera —, et.le signe de, chacune des fonctions {: —""*) \- 
+ sbusre eulq sf as O.(t), OL + 1), . «+ 0 (L) - Î 
sera +. Par conséquent, d'après (7), et en faisant pour abréger 
