Sur les nombres premuers. (5) 31 
a une valeur finie, les expressions 
"s F(x) 0,()—0,@—1), 7 F(æ) 6,1 (@—0,;(æ—1) 
gi} log x bay log x 
pour L— co, seront également finies; au contraire, pour L — co, elles seront infiniment 
grandes, si la somme 
5" Fu) 
logæ 
xz=1 À 
avec l'augmentation de L, converge vers l'infini. Mais le premier cas à toujours lieu, 
si la série 
F (2) F(3) F(4) . F(5) F (6) 
log 2 log 3 log 4 log 5 ie log6 Cle 
est convergente, et le second suppose la divergence de cette série, ce qui prouve le 
théorème énoncé. Ainsi, nous concluons de là que les séries 
1 + e + 3 ns dipl a: ete 
2 log 2 31083 5log5 7log 7 A1log11 Ps 
Qlog? (log 2)  Slog?(log3)  5log2(log5) 7Zlog?(log7) AAlog?(logil) ? 
sont convergentes, tandis que les deux suivantes 
DRE DORE HT 
1 1 
—+- etc. 
1 1 1 
2 log (log 2) a 3 log (log 3) a 5log (log 5) en 7 log (log 7) Et 11 log (log 14) 
sont divergentes. 
$ 8. Quand la serie 
F2)+F(G)+F(65) + F(7) + etc. 
est convergente, nous trouverons sa valeur, avec une approximation aussi grande qu'on 
le voudra, en calculant la somme de ses premiers termes. En dénotant par S, la somme 
de tous les termes qui précèdent F{a), « étant le plus petit des nombres premiers con- 
tenus dans la série 
l, l+1, 142, etc. 
et ! un nombre entier au-dessus duquel toutes les valeurs de æ rendent _ positif et 
décroissant, nous mettrons la série 
F(2)+F(3)+F(5) + A7) + F(11) + ete. —S 
sous cette forme 
S=S,+F(a)+F(B)+F(y) + ete. =S,+ U. 
Cela posé, nous chercherons les limites entre lesquelles tombe U, en faisant L— co 
dans les formules (9). De cette manière nous trouverons 
