Sur les nombres premiers. A7) 33 
6 9. La totalité des nombres premiers, compris dans des limites données, se déduit 
comme cas particulier de la valeur de la série 
F(a)+F(8)+F(y)+...+F(0) 
que nous avons examinée dans les paragraphes précédents. En effet, si l'on prend 
Fa) 4, 
L] 
la somme 
F(a)+F(8)+F(y)+...+7F(0) 
se réduira à autant d'unités qu'il se trouve de termes dans la série des nombres premiers 
PCM PT ET à 
Donc, les formules (9), dans le cas de F(x) —1, détermineront les limites entre les- 
quelles tombe la totalité des nombres premiers, compris entre L et L. (Ces limites sont 
‘plus étroites que celles que nous avons trouvées dans le paragraphe 6, en vertu des 
inégalités que la fonction @(x) vérifie. Dans le cas particulier de {—2, nous trouvons 
que 
6 ANR = TOM ETT TIME 
DD + Cr LE 
œ—1 F* 
»* er L2 [2 L] e L] L2 L] (1 1) 
8,4) 6,4) 5 0,,(@)— 67(x — 1) 
re 
log 2 log 2 ee? log x 
sont des limites entre lesquelles tombe la totalité des nombres premiers de 2 à L, ou 
bien, ce qui revient au même, la totalité des nombres premiers qui ne surpassent pas L. 
En calculant la demi-somme de ces limites (11) nous aurons une valeur approchée de 
la totalité des nombres premiers qui ne surpassent pas L. Quant à l'erreur de cette 
valeur, elle ne pourra surpasser la demi-différence des expressions (11). Par des calculs 
très simples on parvient à reconnaître que le rapport de la demi-différence des expres- 
sions (11) à leur demi-somme devient égal à 7 quand on fait L— co. Donc, pour 
| , OT 
16° + par conséquent si l'on 
calcule, d'après nos formules, la totalité des nombres premiers qui ne surpassent pas une 
. de très grandes valeurs de L, ce rapport sera inférieur à 
limite donnée, très grande, l'erreur sera inférieure à : de la quantité cherchée. 
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