544 (8) M. P. TCHÉBYCHEW. 
le terme k,h"z" est suivi d'un certain nombre de termes égaux à 0. En effet, s'il 
arrive que À 
FR E=0S EP TE Te NI À . Ê . . . . (5) 
la valeur de cette série peut être remplacée par 
k,+k,hz+k Ra +... +k,hz 
même dans le cas où l'on cherche le polynome U avec une précision poussée jusqu'à 
l'ordre h°*"##1, Donc en général, la valeur exacte de U sera de cette forme 
en NH + 1 
| U=U, PR Ne 2 UE D Re CE) 
où | 
U,=k,+k,hz+khRe+....+k,htz, 
V étant un polynome du degré n, dont les coefficients ne deviennent pas infinis pour 
h— 0, et m le nombre des équations (5). Ce nombre ne différera de 0, que dans le cas 
où k,,,—0, ce qui na lieu que pour a égal à une des racines de l'équation f"*'x=—0; 
ù TL +- 1 a s 
car nous dénotons par 4, , , la valeur de — Pour que ce nombre soit 2, 3, ....etc., 
il faut que cette racine de l'équation fx — 0 soit double, triple, .... etc. 
D'après (6) on voit que la valeur exacte de U sera composée de deux parties: U, et 
PVR TE. La première partie n'est évidemment que la somme des n +1 premiers 
termes du développement de f(a+hz) suivant les puissances de z; quant à la seconde, 
elle détermine les changements qu'on doit faire dans les coefficients de cette valeur ap- 
prochée, lorsque l’on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs dans l'intervalle 
donné de la variable. En passant à la détermination de cette partie de U, nous mettons 
la somme U, + Vh"#"#% à la place de U dans la valeur de Y (3); d’après les équa- 
tions (4) et (5), la valeur de Y devient 
(RATER Zu mHi +k, m0 hzt+r+2 Pat É 2 V) RSS 
c'est cette valeur que nous devons chercher à rendre la plus proche possible de zéro entre 
les limites z2——1, z2—+ 1. 
Si l'on supprime ici le facteur constant h°*”#1, et qu'on ne tienne compte que des 
quantités de l'ordre moins élevé que h, la valeur de V, exacte jusqu'a ce degré, sera 
déterminée par la condition que V soit celui des polynomes du degré n, pour lequel la 
différence 
k 
NH MH 1 
nm41 7 —W 
s'écarte le moins possible de zéro depuis z = — 1 jusquà z—=<+1. 
Or, d'après le 3, cela se réduit à un système de 2 n + 4 équations de cette forme 
d(k 2704 m41 
PP PL 0, pme V) 
(Rs Z (x? —1) = 0. 
