Théorie des parallélogrammes. @) 545 
La solution de ces équations, à l’aide des méthodes ordinaires de l’Algèbre, demande 
des calculs, tout-à-fait impraticables par leur prolixité, tant que n, degré du polynome 
cherché, n'est pas un petit nombre. Nous allons montrer qu'à l'aide du calcul intégral, on 
peut remplacer ces équations par d’autres dont le nombre, pour toutes les valeurs de n, 
ne surpassera pas 2m, et même trouver leur solution générale dans le cas de m—0 et 
m— 1, chose très importante pour la méthode d'approximation dont nous nous occupons; 
car, d'après ce que nous avons dit plus haut par rapport au nombre m, il n'aura une 
valeur considérable que dans des cas exceptionnels, très rares; sa valeur ordinaire est zéro. 
Ce dernier cas est celui qui se présente dans la théorie des parallélogrammes. 
$ #. En faisant pour abréger 
PA Nes Lie) Lo alE) 
les équations qui déterminent Ÿ se présenteront sous cette forme 
TE SE CS NE AP A ST) 
Ces équations, d'après les conditions du minimum que nous cherchons, doivent avoir 
n+-2 racines communes, comprises entre z— — 1 et z—+ 1. Or, y étant un polynome 
du degré n + m-+-1, cela suppose, comme nous allons le montrer, que la fraction 
y? — L? 
) 
dz 
P(x2— 1) 
| EE 
où P et Q sont des fonctions entières, la première du degré 2m, la seconde du degré m. 
En effet, soient 
y—=k 
+ M + A 
se réduit à celle-ci: 
Zys Zope ce ee Zns Tnt nya 
les n + 2 racines communes à ces deux équations; parmi ces racines il y en aura au moins 
n qui, étant différentes de — 1 et +1, ne pourront vérifier l'équation 
dy 
2 
\ (z — 1) PTT e 0, 
, l 4 LJ d 4 L L e F. L2 e. 
qu'en réduisant ©* à 0. Or, si z—7z, est une de ces racines, la différence z—z, divi- 
Là Li d ° ° L - 
sera évidemment © et y—1?. De plus, il est facile de s'assurer que y* — L? sera di- 
+ , £ : V4 +. _ dy . . fi 
visible par le carré (2—z,)"; car l'équation = —0, qui a lieu pour z—z,, suppose la 
multiplicité de cette racine dans l'équation y — L*—0. Donc, si 
ERA Ë Zy9 Zoo + Zn 
sont les valeurs de z qui vérifient les équations ; 
dy 
ÿ — L'—=0, yet) a —=0, 
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