Théorie des parallélogrammes. 13) 549 
est une racine simple de l'équation f"*'x—0, et par conséquent, m— 1, on trouve 
avec la même facilité la fonction V, exacte jusqu'aux termes de l’ordre h. En effet, pour 
m — 1, l'équation (7) nous donne 
PE TE F, 
n+2 7 
et comme F est du degré n, nous ne que y, outre le terme k,,,z"#*?, ne con- 
tiendra que des puissances de z moins élevées que z"Ÿ'; parmi les polynomes de cette 
forme, y est celui qui s'écarte le moins de zéro dans les limites z2——1, z2—+1. 
Or, d'après (10), on voit que parmi tous les polynomes, dont le terme affecté de la plus 
haute puissance de z est k,,,z"*?, le minimum des écarts a lieu pour celui-ci: 
PES = NT + Et — y" 1] À 
et comme dans ce polynome le coefficient de z"*! est égal à O0, nous concluons que 
c'est la valeur cherchée de y—k,,,2"**— VW. Donc, pour m—1, le polynome F 
sera déterminé par cette équation 
PLAMES z+V(r2—1)\7 +2 z— V(a2—1)\7+2 
re 
Dans le cas où m surpasse 1, la valeur de y—Kk,,,,, — V, et par conséquent F, 
peut être déterminée, comme nous l'avons vu, par un système de 2m équations. 
C'est ainsi qu'on trouvera, dans tous les cas possibles, la fonction V exacte jusqu'aux 
termes de l’ordre À. Pour ce qui regarde une plus grande approximation de la valeur 
de V, elle ne demande que des opérations élémentaires d’Algèbre, comme nous le ferons 
voir dans les (( suivants sur le cas de m—0. 
Avant de passer à ces recherches, nous nous arrêterons un moment sur la formule (10) 
pour montrer le parti qu'on peut en tirer par rapport aux propriétés des fonctions en- 
tières. Nous avons trouvé cette valeur de z, en cherchant celui des polynomes du degré 
n+1 qui, ayant la forme k,,,z"#1— W, s'écartait le moins de zéro dans les limites 
z——1, z—+1. Or, comme V est un polynome arbitraire du degré n, la différence 
k,.,2"%1—Vest la forme générale de tous les polynomes du degré n + 1, où le coefficient 
de z"*! est égal àk,, ,. Donc, parmi tous ces polynomes, celui qui est donné par la for- 
mule (10), s’écarte le moins possible de zéro dans les limites z—— 1, z— +1, et comme 
# . # ! 4 k \ 
L, désignant le maximum de ses écarts, est égal à H-2#1/(9) nous concluons que tous 
? U FA gt e ? 
les autres polynomes de cette forme, depuis z= — 1 jusqu'à z— +1, présentent des 
écarts plus considérables, et par conséquent, leur valeur, comme celle de (10), ne peut 
être comprise dans des limites plus étroites que celles-ci : 
LE k SR 
ME M +- SUR ; 
