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Soit fx une fonction dont on cherche la valeur approchée sous la forme d'un poly- 
nome uw du degré n, entre les limites t—œx—7, æx—«x<+7, assujétie aux conditions 
mentionnées plus haut. Comme la différence fx — u doit se réduire à zéro pour z—«— y, 
æ—a+7y, il ne restera dans le polynome w que n—1 coefficients arbitraires qui, 
d’après la propriété du minimum que nous cherchons, seront déterminés par cette 
condition: 
«Parmi les valeurs les plus grandes et les plus petites de la différence fx —u, entre 
«les limites — œ— y, æ—a+ 7, on trouve au moins n fois la même valeur numéri- 
que», ce qui suppose (( 3) que pour certaine valeur de L les équations 
d(fxz —u 
(ou) F0, 2 56 
ont n racines communes, comprises entre les limites —a—7y, x—a+ 7; par consé- 
quent, si l'on remplace ces limites par d’autres plus étendues, x—a—h, x—a+h, et 
choisies de manière à ce que pour ces limites la différence fx— u devienne égale à +1 
ou — {, les équations 
(fx —u)} ——=0, (x—a+h) œ@—a—h) "9 —0 1 RO) 
auront n + 2 racines communes entre les limites t—a—h, æ—a+h. Done, pour ces 
limites, le polynome U—u donne la solution des équations (2), dont nous nous sommes 
occupé dans les ( précédents, et par conséquent, vice versa, la solution de ces équations 
nous donnera le polynome w pour certaines valeurs de u— y, «+7, qu'on trouvera facile- 
ment en remarquant que, d'après la propriété du minimum cherché, les valeurs æ = « — y, 
æ—u+7Y, comprises entre a—h, a+ h, vérifient l'équation 
fz—u—0, 
et, entre ces deux valeurs de x, il y a n racines communes des équations 
fx—u} — 2 —0, ee 0. 
Pour montrer une application de ce que nous venons de voir, nous allons chercher 
le polynome uw qui, étant du degré n, donne la valeur exacte de fx —k,, ,x"*! pour 
T—a—7y, &—u+7y, et ne s'écarte, entre ces limites, que le moins possible de la 
n+1 _ 
LITE 28 Bd La 
fon par 2 Che, 
fonction fx — k 
l me à 
L—;;-5; les équations (20) deviennent 
æ Pour cette valeur de fx, et y — 
n+ 1 
d 
gp —L=0, (2—1) + —0, 
dont les n + 2 racines communes seront comprises entre z=—1, z2=+1{. 
