4 C. J. MALMSTEN, 



Sjelfva hufvudpunkten i beviset härför är följande. Genom att supponera x och 

 y vara två continuerliga functioner af en och samma lrya variabel t, nemligen: 



x = (p(t), y = y(t), 



hvilka, jemte det de, hvar för sig, gå i oupphörligt stigande eller i oupphörligt fallande 

 från t = t till t =■ T , uppfylla vilkoren 



<p{T) = X, y>(T)=Y, 



erhålles värdet af integralen (1) exprimeradt i en definit integral mellan reella gränsor, 

 och helt och hållet oberoende af functionsformerna <p och ip. 



Det vill emellertid synas, som om Cauchy sjelf icke hade varit fullt belåten med 

 detta sätt att bevisa en af integral-kalkylens vigtigaste grundtheoremer. Onekligen 

 förefaller det också något oegentligt, att, på samma gång man bör fasthålla x och y:s 

 fullkomliga oberoende af hvarandra, supponera dem vara functioner af en och samma 

 variabel t, nemligen 



x = <p(t), y = y{t). 



Härigenom, äfven om man sedermera lyckas bevisa att värdet på integralen (l) är af 

 functionsformerna (p och ip helt och hållet oberoende, kommer dock icke sjelfva bevis- 

 ningen att framträda med den styrka och tydlighet, som vore behöfligt. 



Att Cauchy sjelf, såsom ofvanför blifvit antydt, icke synes hafva varit med 

 denna deduction fullt belåten, framgår deraf, att han omkring 20 år senare återtog 

 samma ämne till förnyad undersökning. Den af honom då gjorda definitionen finnes 

 intagen i Comptes Rendus 1846, och har sedermera åtskilliga gånger blifvit reprodu- 

 cerad, bland andra af Puisseux i hans "Becherches sur les fonctions Algéhriques" (Journ. 

 de Liouville Tom. XV) och af Briot och Bouquet i deras "Théorie des fonctions 

 "doublement periodiques" (Cap. III). 



Vid denna förnyade behandling af ämnet utgår Cauchy ifrån att betrakta x och 

 y i expressionen 



z = x-{-yV — 1 



såsom rätvinkliga coordinater, hvilka fixera en punkts läge i planet, så att mot hvarje 

 värde på z svarar ett bestämdt läge af punkten, och tvärtom. 

 Han söker derefter visa, att om, i stället för att låta z passera 

 från z till Z genom sådane mellanliggande värden som fixera 

 punktsystemet (limen) z n »ii n t n Z, man låter detta ske genom 

 sådane mellanvärden som fixera ett annat, indefinit nära intill 

 det förra liggande, punktsystem (linie) z m> n 2 ^ Z, variationen 

 af värdet på integralen 



jf(z)dz 



(3) 



