OM HKFIMT.I INTEGRALER MELLAN IMAGINÄRA GRÄNSOR. ■ > 



blir 0. Häraf följer aaturligtvis, att, inom gränsorna för funktionens /'( i ) continuitet, 

 \;inlci på integralen (3) ar hell och hållet oberoende af de mellanliggande vftrdena på 

 z och endast beroende af gränsvärdena ;„ och Z. 



Af\cn emot detta sätt att bevisa ifrågavarande vigtiga grundsanning hafva vi börl 

 åtskilliga anmärkningar göras; och det kan icke förnekas, att äfven bär bevisel icke 

 framstår så klart och bindande, som det vore att önska. Först och främst förutsattes 

 vid detsamma variatioiiskalkylen såsom känd, livilket <xi)v att framställningen af läran 

 om definita integraler mellan imaginära gränsor svårligen kan ske på det ställe och i 

 det sammanhang, som för densamma vore mest passande. Vidare kan det ifrågasättas, 

 huruvida icke i begagnandet af formler sådane som dessa*) 



och 



sjf{z)dz =j[åf(z)dz +f{z)dåz] 



fd[f(z).åz] = [f( 2 ).åzT Zo (4) 



ligger så tillvida en "i^etitio princijrii", som man här till imaginära variabler utsträcker 

 giltigheten af formler, hvilka endast för reella sådane blifvit bevisade. Hvad formeln 

 (4) särskildt beträffar, har ju Catjchy sjelf först då kunnat bevisa densammas giltighet 

 för reella variabler, sedan han förut bevisat att den limes-summa, som med tecknet 



jf(z)dz 



utmärkes, är helt och hålet oberoende af de mellan z och Z liggande värden. Just 

 detta senare är hvad man här afser att äfven för imaginära variabler få bevisadt; och 

 det synes då icke rätt lämpligt, att i beviset härför begagna formeln (4). 



Utan att nu ingå i någon utförligare pröfning af den större eller mindre vigt 

 och betydelse, som bör tillerkännas de här ofvan anförda objectionerna, hafva vi dock 

 ansett såsom en vinst för den mathematiska vetenskapen, att, liksom Cauchy gjort för 

 definita integraler mellan reella gränsor, kunna äfven för det fall, då gränsorna äro 

 imaginära, deducera motsvarande theoremer omedelbart ur sjelfva definitionen på definit 

 integral. Härigenom vinnes bland annat den fördel, att äfven läran om definita in- 

 tegraler af detta senare slag får inom Integral-Calculen intaga en plats motsvarande 

 den, som läran om reella definita integraler redan fått sig anvisad. 



Hvad de i denna afhandling framställda theoremer beträffar, innehåller det första 

 en sats rörande- imaginära qvantiteter, hvilken motsvarar ett sedan länge kändt theorem 

 rörande summan af tvålediga produkter af reella factorer, der den ene factorn i alla 

 termerna är af samma tecken. Theoremet II, på hvilket vi tillåta oss att särskildt 

 fästa läsarens uppmärksamhet, är för vårt afsedda ändåmål af hufvudsaklig vigt. Det 

 är med dess tillhjelp som vi kunnat bevisa grundegenskaperna hos definita integraler 



*) Se Théorie des Fonctions doublement périodiques par Briot et BouauET pag. 21. 



