12 C. J. MALMSTEN, 



§ 3. 



Theorem III: Lät 



z = x-\-iy 



vara en imaginär variabel, och 



f(z) = <p(x, y) -T f *>(*, y) (25) 



synektisk (continuerlig, monodrom och monogen) för hvilka värden som helst, frän och med 



x = x , y = y 

 till och med 



x = X, y=Y, 

 och således 



3 y(flö y) _ ZiKx, y) l<p(a>, y) dipjcc, y) _ 



doo ' dy ' dy dx » 



låtom oss vidare mellan x Q och X samt y och Y (hvilka 4 gränsvärden antagas vara 

 ändliga) insätta respective n — 1 mellanliggande värden 



Vi, y*> y 3 , ••• y»_n 



hvilka gå, alla x i tillväxande eller af tag ande och alla y i tillväxande eller aftagande, 

 (dock icke nödvändigt de förre på samma gång tillväxande eller aftagande som de senare). 

 Låtom oss slutligen sätta 



z, — #, H~ iy, i 



k k ' •?£•' 



och för korthetens skull 



S n = ^-z )f(z ) + (z i -z 1 )f(zd + ... + (Z-z n _ 1 )f(z^ 1 ) (26). 



Om nu n växer indefinit och med detsamma differenserna 



Z\ — z , z-i — Zy , .... Z — z n _ l , 

 cl. v. s. differenserna 



yi~y ' y-2^y,--- T — y«-i 



aftaga indefinit, sä är lim S n oberoende af n och äfven oberoende af de mellanliggande 

 värdena 



Z 1} Z t , Z-i, Z n-V 



Bevis : 



På grund af formlerna (25) och (26) erhålles utan svårighet 



s n==Pn ^iQ n ; (27), 



