V. Abteilung. Mathematische Sektion. 



Regierungsrat Prof. Dr. Sturm erklärt hatte, eine Wiederwahl nicht an- 

 nehmen zu können. 



Herr Oberlehrer Dr. Peche hielt einen Vortrag 

 über die natürliche Geometrie. 



Es wurden Methoden dargelegt und kritisiert, die Herr Cesäro in 

 seinen „Vorlesungen über natürliche Geometrie" (deutsche Ausgabe, Leipzig 

 1901) anwendet, ebenso die Versuche der Herren Bianchi und Scheffers, 

 für eine natürliche Geometrie der krummen Flächen die Grundlagen zu schaffen. 



Herr Professor Dr. Kneser sprach 

 über die Begründung der Ähnlichkeitslehre in der Elementargeometrie. 



Es wurde zunächst über Arbeiten von Graßmann, Hubert, Kupffer, 



Mollerup, sowie eine eigene Arbeit des Vortragenden berichtet, nach denen 



die Proportions- und Ähnlichkeitslehre unabhängig vom Begriff der Zahl, 



des Maßes, des Inkommensurabeln rein geometrisch aufgebaut werden kann. 



Der Vortragende definiert eine Proportion zwischen vier Strecken 



a : b = c : d 



dadurch, daß die mit den Katheten a und b einerseits, mit den Katheten 



c und d anderseits gebildeten rechtwinkligen Dreiecke gegenüber den 



Seiten c und a denselben spitzen Winkel haben. Es gelingt dann durch 



einfache geometrische Betrachtungen*) zu zeigen, daß aus der obigen 



Proportion folgt 



a : c = b : d, 



a-|-c:b-|-d=:a:b, 

 und daß in beliebigen gleichwinkligen Dreiecken die bekannten Proportionen 

 zwischen den Seiten gelten. 



Der Vortragende gab sodann eine Modifikation seiner früheren Dar- 

 stellung, indem auf eine neue Weise aus den angegebenen Grundeigen- 

 schaften der Proportionen eine Streckenrechnung abgeleitet wurde, die, 

 obwohl rein geometrisch begründet, denselben formalen Regeln wie die 

 Zahlenrechnung unterworfen ist. Nach Descartes wird das Produkt zweier 

 Strecken ab in der Weise definiert, daß eine beliebige, aber ein für alle- 

 mal festgehaltene Strecke durch 1 bezeichnet und die Proportion 



ab : a = b : 1 

 angesetzt wird. Da man nach den obigen Resultaten die Innenglieder 



vertauschen darf, folgt 



ab : b = a : 1 ; 



anderseits gibt die Definition des Produkts 



ba : b = a : 1, 

 und da offenbar durch drei Glieder einer Proportion das vierte eindeutig 

 bestimmt ist, erhält man die kommutative Eigenschaft des Produkts, d. h. 

 die Gleichung 



ab == ba. 



*) Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft Bd. I. Archiv 

 der Math. u. Phys. (3) Bd. II. 



