SULLE SUPERFICIE 



- NELLE QUALI 



I CIRCOLI OSCULATORI DELLE LINEE DI CURVATURA DI UN SISTEMA 



TAGLIANO UN PIANO FISSO SOTTO UN ANGOLO COSTANTE 



MEMORIA 



DEL 



Prof. AMILCARE RAZZABONI 



letta nella Sessione del 30 Novembre 1913 



Nel fascicolo del 13 maggio 1912 dei Comptes rendus il signor Guichard ha 

 pubblicato una Nota del titolo : Sur les surfaces telles que les sphères osculatrices aux 

 lignes de courbiire solent tangentes à une sphère fioce. 



Veramente una tale questione, benché sotto altra forma, trovasi posta e risoluta 

 negli ultimi due §§ di un mio antico scritto, certamente sfuggito all' attenzione dell' il- 

 lustre Geometra francese, avente per titolo : Le forinole del Frenet in Geometria iper- 

 bolica con applicazioni (*). In esso, dopo avere considerate le curve a flessione — 1 dello 

 spazio iperbolico (di curvatura = — 1) ed avere dimostrata l'esistenza di una partico- 

 lare trasformazione geometrica mediante la quale da una di quelle curve, supposta cognita, 

 se ne ottengono infinite altre eseguendo una sola quadratura, presi in esame le super- 

 ficie le cui linee di curvatura di un sistema sono formate da curve di questa specie, 

 dimostrando come le superficie geodeticamente parallele ad una di esse appartengano 

 alla classe. 



Il problema, come si vede, non differisce da quello del Guichard in quanto che 

 nella nota rappresentazione conforme dello spazio iperbolico sullo spazio ordinario (**) 

 avendo i punti all' infinito per corrispondenti i punti di un piano fisso (il piano limite), 

 le curve immagini di quelle a flessione = 1, che hanno il raggio di curvatura ce, 

 saranno tali che i loro cerchi osculatori risulteranno tutti tangenti al piano stesso. 

 D'altra parte è facile vedere che, se i circoli osculatori di una linea sono tangenti 

 a un piano, anche le corrispondenti sfere osculatrici toccano lo stesso piano, e reci- 

 procamente. 



La questione però è suscettibile di generalizzazione, potendosi considerare le super- 



(*) Bologna, Tipografia Gamberini e Panneggiati i, 1899. 



(*") Bianchi, Lezioni di Geometria differenziale, Voi. I, pag. 419. 



Serie VII. Tomo I. 1913-14. 15 



