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fiele di cui le sfere osculatrici (i circoli osculatori) delle linee di curvatura di un 

 sistema anzi che essere tangenti taglino un piano fisso (una sfera fissa) sotto un angolo 

 costante (reale o immaginario). In metrica iperbolica si tratta evidentemente delle su- 

 perficie le cui linee di curvatura hanno la medesima flessione costante, senza che 

 questa sia precisamente = 1 (cioè uguale al valore assoluto della curvatura dello spazio), 

 come è supposto nel caso già da me considerato ed ora di nuovo dal Guichard (*). 



Superficie di tale natura esistono effettivamente e si presentarono la prima volta 

 al prof. Bianchi nelle sue importanti ricerche sui sistemi tripli ortogonali di Wein- 

 garten considerati tanto nello spazio ordinario (**) quanto in quelli di curvatura 

 costante (***) e per le quali egli dimostrò l'esistenza di una speciale trasformazione 

 geometrica che dedusse come caso particolare da quella dei sistemi da lui. detti a fles- 

 sione costante, le cui superficie appartengono precisamente alla classe di quelle consi- 

 derate nella presente Memoria. 



Oggetto principale della quale è la risoluzione diretta del problema proposto, indi- 

 pendentemente cioè dalla considerazione dei sistemi tripli ortogonali di cui quelle su- 

 perficie fanno parte. 



Procederemo perciò come nel caso superiormente ricordato della flessione = 1, 

 vale a dire cominceremo prima dalle curve, e quindi le proprietà e le formole che 

 troveremo per esse le estenderemo, convenientemente modificate, alle superficie. 



§ L " 



Curve a flessione costante in Geometria iperbolica. 



1. Supposta per semplicità = — 1 la curvatura del nostro spazio, sia C una curva 



data di flessione - - costante, il cui valore supporremo > 1 a volere che il centro del 



cerchio osculatore sia reale. Indicando quindi con b il segmento, di lunghezza costante, 

 compreso fra la curva e il corrispondente centro di curvatura, potremo scrivere 



— = cot lib . 

 P 



Rappresentiamo poi con ce' x v a? 2 , x 3 le coordinate di un punto variabile di C, 

 con u la lunghezza del suo arco, con a,-, £,-, Ci {i = 0, 1,2, 3) i coseni direttori 

 rispettivamente della tangente, della normale principale e della binormale alla curva (****) 



(") Bianchi., Lezioni di Geometria differenziale, Voi. I, pag. 419. 

 (") Annali di Matematica pura ed applicata, Serie IP, Tomo XIII. 1885. 

 ('**) Reale Accademia dei Lincei, anno CCLXXXIV, 1887. 

 ("""■) Fra queste quantità esistono come è noto, le relazioni : 



3 S 3 3 



xl — ^ i sc- i = ], ^ a\ — a = , ecc. , ^ x < a < ~ a 'o a o = , ^ a,- £,- — a ?o = , ecc. 



