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e conduciamo per ogni suo punto M e normalmente ad essa un segmento MM' di lun- 

 ghezza costante = a. Allora le coordinate (x\) del suo estremo M' saranno espresse dalle 

 equazioni 



(1) oc[ = x { cos ha -+- (ZìCosq -f- Ài seno) senha, 



nelle quali o rappresenta l'angolo, per ora incognito, che il segmento stesso forma 

 con la direzione positiva della normale principale e che determineremo in funzione di u, 

 ponendo la condizione che la curva rappresentata dalle (1) sia una trajettoria isogonale 

 dei cerchi di curvatura della superficie canale che ha per asse la C e per raggio a. 

 Converrà per questo che teniamo presente le forinole di Frenet, che nel caso attuale 

 dello spazio iperbolico (di curvatura — 1) sono le seguenti : (*) 



dooj daj'__ li d%j _ _ a, Àj dÀj __ & 



du " du p *' du p t ' du % ' 



per mezzo delle quali, derivando le (1) ed omettendo per semplicità gì' indici, otterremo 



dx ' / senhaeeso\ ■ (do 1\ «. . (do 1\ . 



(2) — = ( cosha -) a — senha seno ( -— ) c-t- senha cosa 1 À, 



du \ p / \du xf \du x) 



ovvero, posto 



a /-A /docA 2 /dco n \ z du' ^ I ( , senha cosa\ 2 „ (da 1\ 2 



ed indicando con a i coseni direttori della tangente alla curva C' generata dal movi- 

 mento del punto M' , 



. , / senftacoscA , /da 1\ ,. _ /do 1\ , 



(4) Zia = ( cosha - ) « — senhaseno ) t -\-sen ha cosa A ; 



\ P \du ti ' \du t, 



senhacosa\ _ /da 1\ „ , /do 



mentre pei coseni degli angoli della tangente ai cerchi u troveremo facilmente i valori 



1 ^x 



senha "òa 



£seno -I- A coso. 



Esprimiamo ora la condizione che la curva considerata C' sia trajettoria sotto l'an- 

 golo costante a dei cerchi di curvatura della superficie canale suddetta ; dovrà allora 

 essere soddisfatta 1' eguaglianza 



A /* ,ìx\ ,ìx[\ (do 1\ 



(5) — ( > « t - a —-- = Acosa == sen/za (- , 



senAa V^t 1 ?o c)o / \dw %} 



ovvero, sostituendo a A il suo valore (3), 



V( _ senftacosoy , 9 /do 1\~ A 



cosha -')'-+- sen/r« ) — senha ( - 



\ P \du il \c 



(*) Bianchi, Lezioni, Voi. I, pag. 458. 



