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 o finalmente, riducendo a forma intera, nella equivalente 



(senh 2 a — sen/rftcosV) (cosha — senhacothbcos(d) 2 = sen h 2 a sen 2 a (sen 2 a -+- cosh 2 bcos 2 a) — 

 — 2 cosha sen ha cos hb sen hb sen 2 a cosVcos a -+- sen h 2 a cos h 2 b sen 2 acos 2 a cos 2 o , 



la quale poi, dovendo essere identicamente verificata qualunque sia o, si scinde nelle tre: 



/ senh 2 acoth 2 b (senh 2 a — sehh 2 bcos i a) — sen/^acos/^senVcosV = 0, 



(1 1) ( sen ha cos ha cothb (sen/ra — sen/i 2 icos 4 (7) — sen h a cos h a sen hb cos hb sen 2 'a cos 2 a = 0' 

 ' cosh 2 a (sen/ra — sen/i 2 6cosV) — sen/* 2 asen 2 (7 (sen 2 a -+- cosh 2 bcos 2 a) = 0. 



Le prime due si semplificano immediatamente nella 



sen h 2 a — sen h 2 bcos 4 a — sen/rV^seirVcosV = 



e questa a sua volta nella 



sen ira — sen Irb cos 2 a = , 

 da cui 



(12) • senha=. sen hb cosa, 



che è la relazione richiesta e nella quale abbiamo tenuto conto del valore positivo 

 soltanto, potendosi sempre supporre l'angolo a acuto; quanto alla 3. a , essendo allora 



sen/ra — sen^ 2 5cosV = senh 2 a — senft 2 acos 2 ff = sen/rasenV, 



essa si riduce a 



cos h 2 a — (senV -+- cosh 2 bcos 2 a) = 



identità facile a verificarsi se si osserva che 



cosh 2 a= 1 H-sen/ì 2 a= 1 -+-sen/r£cos 2 (7. 



Quest'analisi ci permette dunque di concludere che per ogni curva C a flessione 



eostante - = cota& esiste una curva della stessa flessione costante rappresentata dalle (1). 



ove a denota una costante positiva < b ed o un angolo che verifica l' equazione dif- 

 ferenziale (6), curva che è traiettoria isogonale sotto l' angolo a determinato dalla (12) 

 dei cerchi generatori della superficie canale di raggio a che ha per asse la curva con- 

 siderata C. Se poi si osserva che o, verificando la (6), contiene una costante arbitraria, 

 vediamo che co 1 sono le curve che si ottengono per ogni valore di a e che sono traiet- 

 torie sotto lo stesso angolo della corrispondente superficie canale ; sicché, potendo a 

 variare da o a b, la costruzione suindicata ci dea co 2 curve della stessa flessione co- 

 stante ed eguale a quella della curva primitiva C. 



