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Superficie dello spazio iperbolico con un sistema di linee di curvatura 



a flessione costante (- > • 



3. Per dimostrare anzitutto l'esistenza di tali superfìcie seguiremo il metodo tenuto 

 dal prof. Bianchi nel § 10 della sua Memoria predetta sui sistemi tripli ortogonali, 

 traducendo semplicemente in metrica iperbolica le formole della metrica ordinaria da 

 lui date per la risoluzione dell'analogo problema. 



Sia dunque & una superficie della specie considerata di cui 



ds 2 = Edu 2 ■+• Gdv 2 



sia il quadrato dell'elemento lineare riferito alle sue linee di curvatura u e v ; se indi- 

 chiamo con p x e p 2 i corrispondenti raggi principali di curvatura, dovranno allora essere 

 soddisfatte le equazioni : 



1 1 \ Mogi/i? a / 1 , 



\ Mog(/ff _ ì_ /Jl\ 

 J 3» ì>v \pj 



ì {— —\ M ° g ^ .+_ - (JL\ = 

 1 \Pi pJ du ali \P,/ ' 



Pj P 2 I ov òv \p 



1 1 \ Mogj/^ _^ / 1 



p l pJ du du \p l 



1 1 j 3 / 1 ^i/Q\ D. / 1 * 



P\Pz \/EG\ì>u\\/E <>u / *v\[/ 



'G ^ / ) 



1 



di cui le prime due coincidono eon le ordinarie equazioni di Codazzi e la terza è 

 quella di Gauss nella quale figura la curvatura ( — 1) dello spazio ambiente (*). 



Supponendo che v siano le linee del sistema aventi la stessa flessione costante — (>1), 



potremo scrivere anche qui 



- = cot Kb , 

 P 



e siccome il quadrato della flessione d'ogni linea tracciata su una superficie eguaglia 

 la somma dei quadrati delle sue curvature normale e geodetica, dovrà sussistere la 

 eguaglianza 



(.3) £)V'('!^) ='«**», 



\pj \y/EG 3» / 



che con le (B) forma un sistema di quattro equazioni cui debbono soddisfare le quattro 

 incognite E, 67, p x e p 2 . 



(") Bianchi, 1. e. pag. 499. 



