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 la precedente si trasforma subito nella 



•. ¥-^=°. 



da cui integrando, 



[/&= Vcos{6-h- 7,) 



denotando V e V due funzioni arbitrarie di v, la prima delle quali, cangiando v in 



I Vdv, potrà supporsi eguale a senhb, e la seconda uguale a zero, intendendola 



sen hb J 



inclusa in 6 ciò che è evidentemente lecito per la (a). Abbiamo così per le quattro 



incognite E, G, p l e p 2 i valori : 



I / E = sen hb —- , i/ G = sen hb cos 6 

 no v 



, — = cot/i&sentf) H n > — :=cothbsen<7) 



\ p x senhb coso ov p 2 



soddisfacendo 6 e (p le due equazioni simultanee a derivate parziali 



(17) cos /i6 cose/ cos (B — = , — £ — t- cos /«^ cos e/ cos© ~ == , 



ouov Dm ouov cu 



con che l'elemento lineare della superficie, riferita alle sue linee di curvatura u e v 

 di cui le ultime hanno la flessione costante ed eguale a cot hb, verrà ad acquistare 

 la forma 



(18) ds 2 = sen h'b il — ) die -f- cos 2 6dv 2 \ 



i\ou/ 1 



che è appunto quella che si trattava di determinare. 



Inversamente per ogni coppia di valori di 6 e (p soddisfacenti le (17) esisterà 

 sempre una superficie determinata della classe, le cui coordinate si otterranno, come 

 è noto, integrando un' equazione di R i e e a t i . 



§ IH. 



Trasformazione delle superficie dello spazio iperbolico 

 aventi un sistema di linee di curvatura a flessione costante. 



4. Dimostrata così l' esistenza di superficie della specie considerata, facciamo ora 

 vedere come possa estendersi ad esse la trasformazione geometrica che abbiamo data 

 per le curve. 



Supposto perciò di conoscere una superfìcie 5 della classe, indichiamo con x { le 

 coordinate di un suo punto variabile, con £ t - i coseni direttori della normale e con rji, £ t - 



Serie VII. Tomo I. 1913-14. 16 



