— 124 — 



ma, per quello che aabiamo visto nel § I, le trajettorie considerate sono curve a fles- 

 sione costante, sicché l' equazione differenziale ottenuta esprimerà la condizione affinchè 

 le linee v della S' abbiano la stessa flessione costante (cot/ib) delle corrispondenti v 

 della S. 



5. Vediamo adesso a quale ulteriore condizione deve soddisfare la a affinchè le 

 linee u e v siano di curvatura per la trasformata, cercando anzitutto di verificare la 

 condizione di ortogonalità espressa dall'equazione 



„ òx i òx i òx òx ^ 



■" òu òv òu òv 



Sostituendo in questa alle — , - — i loro valori (20) e facendo semplici riduzioni, 



òu òv 



avremo intanto 



- — cos hb sen (p cos 6 ; -t- cos ha senhb sen a cos 6 



cos ha senhb -+- senhacoshbcos (o — (p) 



{ òv 

 -f- sen ^ coso 

 e poiché per la (23) 



cos hasen hb -+- sen ha cos hb cos (a — (p) 



ÒQ 



òu 





od òo 



— = sen ha tang a — , 



Òli ÒU 



ÒQ 



sostituendo e successivamente dividendo per sen ha — otterremo 



cu 



coshbsenfcosO -ì-cothasenhbsenacosd -{- tango' senéJcos» — 



ò(Q — (p) 



òv 



da cui finalmente 



(24) -— = l- cos A& sen (licosa — cot ha senhb seno cos 6 — tang a sen 6 coso, 



òv òv . T 



che è un'altra equazione differenziale in o, che coesiste colla (23), giacché, come an- 

 diamo ora a provare, è identicamente soddisfatta la condizione d'integrabilità 



(0) 



ò Zòo 



dv \òu 



ò (à(D\ 



Òli \ÒV/ 



Derivando infatti la (23) rispetto a v, troviamo 



Ò (ÒQ 



ÒV \ÒU 



cos hb cot cr sen (q — (p) 



ò(a — (p) od 



ÒV òli 



ò 2 6 



cot hasen hb-+- cos hb cos {p — (p) cot a 



òu òv 



