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Trasportando tutto nel 1° membro ed osservando che allora si ha identicamente 

 cot ha sen hb cos hb cotocos# sen o sen (o — <p)-\- cot ha sen hb cos hb cotocosfl cos ocos (o — <p) — 



— cotkasenhbcoshbcoto cosd cos(p = cothasenhbcoshbcoto cosd ! seno sen (o — <p)-+- 



i 



-H coso cos (o — p) COS<p = , 



, cosA&sen#cososen(o — <p) — cos hb sen 6 seno cos (a — (^)-|-cos/i&sen0sen<^ = 

 = cos hb sen ascoso sen (o — <p) — senocos(o — (p)-\-senpl = , come si vede su- 

 bito sostituendo a sen(o — (p), cos(o — (p) i loro sviluppi, la predetta eguaglianza si 

 semplificherà nella 



cos 6 cos o (cos h'b cot o — cot Ira sen h 2 b cot o -+- tang a) = 

 e questa a sua volta nella 



cosh 2 bcos 2 a — cot/rasetr&cosV -+- seira - = 0, 

 che per la (12) si riduce a 



cos/i 2 icos 2 o — cos h 2 a -+- seiro" = 

 e che subito si verifica osservando che si ha 



cos h*b == 1 -h sen Irb =z 1 -+- sen/racos 2 o. 



Dimostrata così la coesistenza delle due equazioni (23) e (24), per la determinazione 

 di o, che è l'incognita del problema, dovremo integrare l'equazione ai differenziali totali 



o(p 



da = 



— cothasenhb -+- cos hb cos (o — <p) 



od 



cot o — du ■ 

 cu 



dv 



cos hb sen (p cos 6 



dv 



— cot h a sen hb cos 6 sen o — tango - sen #cos o 



che è del tipo di Ricca ti e che possiamo anche scriverla sotto la forma più semplice 



o(p 



— cos/m-H- cos hb coso - cos (o — (p) od 



(25) do=~ — du 



seno ou 



ov 



cos hb sen p cos 6 — 



cos /? rt sen ocos#-t- sen osen# coso 



COSO' 



dv 



In essa 6 e (p sono funzioni note di u q v ed a, b, o sono tre costanti collegate 

 tra loro per mezzo della (12) e delle quali la b e fissa per tutte le trasformate ; di 

 guisa che, contenendo o oltre la o un'altra costante arbitraria, quella proveniente dal- 

 l' integrazione della (25), le (19) ci rappresenteranno una doppia infinità si superficie S' , 

 che ora dimostreremo appartenenti alla medesima classe delle 5. 



