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§IV. 

 Verifiche relative alle superficie trasformate. 



6. Mostreremo in primo luogo che la forma dell'elemento lineare delle nostre su- 

 perfìcie, riferite alle linee coordinate u e v, che sappiamo già essere ortogonali, è pre- 

 cisamente la stessa di quella che abbiamo trovata per la S. 



w 



Eliminando infatti — fra le (22) e (23) ed osservando la (12), abbiamo intanto 

 ì)u 



(26) E' = — ( — )=senh 2 b — ; 



coso - \duj \bu; 



"SI™ sf\\ 



mentre eliminando — — fra la 2 a delle (20) e la (24), troviamo 



óv 



(27) — == — senhacoso senhbcos6-x:-{-(cothasenhbcos6senc)-\-ta.i\g(ysen0cosG))£, — 



c>w ( 



— sen#- ^ -+- (cot /*a sei) A6cos0 cose? — tango - sendsena) t, , 



da cui 



3 /Ùcv'\ 2 /ùx\ 2 [ 



G' = y. (-^-M — (- - ) = sen/rrtcos 2 © — sen/r&cos 2 #-l-cotft 2 rtsen/r&cos 2 #-i- 

 f \ Dv I \ dv J \ 



-+- tangVsen 2 ^ -4- sen 2 # ( 

 e semplificando 



(28) G' ■= senh 2 bcos 2 a 

 con che 



(29) ds'"~=- senh 2 b ( — ) dic 2 -+- cos 2 odv 2 \ 



( \àu/ 1 



sarà il quadrato dell' elemento lineare di S' che come si vede ha la forma stessa di 

 quello che abbiamo trovato alla 'fine del § II per la S, ove o insieme ad un'altra 

 quantità che introdurremo soddisfano, come dimostreremo, a un sistema di due equa- 

 zioni differenziali simultanee perfettamente analoghe alle (17). 



7. Passiamo ora a dimostrare che le linee coordinate u e v sono di curvatura per 

 la S' ; basterà che lo proviamo per uno dei due sistemi, p. e. per quello delle v. 



Indicando perciò con %\ i coseni direttori della normale alla superficie e con R un 

 fattore di proporzionalità, dovremo verificare l'equazione 



(30) -21 = R 



ìrn ~òu 



? 



