— 130 — 

 Per verificare quella formata dai primi due rapporti, basterà dimostrare l'equivalente 



(42) ^seno - — Bcosacoso = , 



nella quale ad A e B dovranno essere restituiti i loro valori (40) ; ma se si osserva 

 che allora si ha identicamente 



cos ha sena cosasene? — cot ftasenft& seno - coso - cos # senato , 

 senVsen^cosoH-cosVsen^cosa — cot/irteos7zasen/2&cosjsen#cosG)-t- 



-4-sen/i«sen/i6'coso'sen^coscj = (l — cos/r«H-senft 2 a)sen6'cosG?— , 



- 



sopprimendo dai termini che rimangono nella (42) il fattore comune cos/i&cosa', si 

 otterrà l'eguaglianza 



cos/iosen^cosocos (a — (p)-\- seno"cos0sen a cos (a — (p) — sen(7cos#sen<^ — 



— cosftasen#sen(^sen«cosG)-+-sen(7sen(£)cos#cos 2 « — cosA«sen#cos(£icos 2 » — sen(7cos#cos<^sen©cosG?=0 



che immediatamente si verifica sostituendo a cos(c9 — (p) il suo sviluppo. 

 Per dimostrare quella 



B _ C 



1 cota'seiiG? 



degli altri due rapporti della (41), riduciamo a forma intera e si avrà 



5coso"senc? -+- C seri a = 0, 



dove anche qui a B e a C intenderemo sostituiti i loro valori (40) ; ma poiché nello 

 sviluppo che ne consegue 



— cos 2 (T sen^sen a — senha senhb cosase ndsena -+- cos ha co ilici coso - sellasene? — 

 — serrasene sena = ( — 1 — sen/i 2 «-j-cosft 2 «)sen#sen«r=:0 , 



cothasenhb senacoso" cos^coso -+- cosftasena cos# cose? = 



=( — cot ha seri hb cos a -+- cos ha) sena cosd cos o=:0 , 



sopprimendo dai termini che rimangono il fattore comune coshbcosa, si otterrà l'egua- 

 glianza identica 



cosha sertip serra — seno - sen(p cos# seno cos a -+- cosha serid cos(pser\G) cos a -+- 



-+- seno"cos#cos(^sen 2 — seno"cos#cos^ — cosila sen# seno cos (a — (p) ■+- seiKjcos^coso cos (a — (p) = 



che si rende anche qui subito manifesta, sostituendo a cos (e? — (p) il suo sviluppo. 



8. Dimostrate così le (41) e per conseguenza le (36) che esprimono, come sappiamo, 

 le condizioni affinchè le linee v di S' siano di curvatura, passiamo a determinare il 

 fattore R di proporzionalità, il cui significato geometrico, come abbiamo sopra osser- 



