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 moltiplicando il 1.° termine del numeratore per sen 2 6 -+- cos 2 6 , esso assumerà la forma 



(47) Lsen 2 d — 2Afsen0cós0 -+- Ncos 2 6., 



ove L, M, JS hanno rispettivamente i valori 



ÌL = ( — cosha -\- coshb coso" cos ip) 2 — (cosha cos ip — coshbcosa) 2 , 

 M=; senasenip (coshacosip — coshbcosa) , 

 N= ( — cosha -+- coshb cosa cos ip) 2 — seircrsen 2 ^ . 



Ora, poiché sviluppando si trova facilmente 



L = senV se ir ip , iV= (coshacosip. — coshbcosa) 2 , (*) 



sarà evidentemente 



M 2 =LN, 



e perciò il trinomio (47) sarà un quadrato perfetto e precisamente del binomio 



[/ Lsend — [/ Ncosd ; 



ricordando che il trinomio stesso non è altro che il numeratore della frazione che forma 

 il secondo membro della (46), sarà per conseguenza 



1 — ^F 2 > , 



cioè 



\r~ < i 



e quindi sarà lecito porre 



qr = se\\(p' 



rappresentando <fi' un angolo reale. Quanto a f)' 2 , osservata la (44) e la 2. a delle (45), 

 otterremo subito la forinola 



(44') — r =.cothbsen<p', 



P2 



(*) Si ha infatti 



L = sen ? t|> (coah^a — cos/i 2 6cos 2 a) — seircj; (1 + senA 2 òcos 2 a — cos/i 2 ftcos 2 a) = sen 2 c}j$eira , 

 N= costila — 2cos/mcosMcosacos4» -+- cos/* 2 &cos 2 acos 2 <jj — ■ sen 2 asen 2 t]j 

 1 =l costila (cos 2 t|» -+- sen 2 <j;) — 2cos/mcos/;&cosacòscjj -+- cos/« 2 &cos 2 acos 2 c|j — sen 2 asen ? cj; 

 ma 



cosAVtsen 2 ^ -+- cos/i 2 &cos 2 acos 2 cJ; — ■ sen 2 asen 2 (J; =r (1 -t- sen/rftcos 2 a — sen 2 a) sen 2 'j) -+- cos/i 2 &cos 2 aeos 2 tj; — 

 = cos 2 a (1 -+- senh^b) seir'ji -+- cos/i 2 6cos 2 acos 2 (|» — - cos/ròcos 2 a 



per conseguenza sarà 



iV = cos/i 2 flcos 2 (|j — 2 cos/?rtcos/iòcosacos<]j + cos/r&cos 2 a = (cosAflcostji — cosA&cosa) 2 . 



