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(Cfr. il Programma pubblicato nel fase, di Aprile 1899 del Bollettino di bibliografia 

 e storia delle scienze matematiche). L' estensione alle superficie ba formato argomento 

 della mia Nota << Intorno ai fondamenti della Geometria sopra le superficie algebriche » 

 {Atti R. Acc. di Torino 1901). 



Nel citato corso del 1897-98 la dimostrazione delle proposizioni 1), 2), 3), venne 

 data nella forma che si presenta più naturale ed immediata quando si considerano le 

 curve rispetto alle trasformazioni birazionali, cioè riducendosi al caso in cui le g' n sieno 

 segate da rette e facendo ricorso alla teoria delle polari. Il medesimo è fatto per le 

 superficie nella Nota dell'Accademia di Torino. 



Quest'anno sono ritornato nei miei corsi sulle curve algebriche, ed ho voluto svolgere 

 la teoria delle funzioni razionali (o serie lineari) appartenenti ad una C p , prima ed 

 indipendentemente dall'uso di trasformazioni. 



Indico qui le osservazioni cui sono stato condotto, per l'interesse didattico che 

 possono presentare. 



Tutta la teoria delle g r n su una C p si può svolgere molto semplicemente senza ricor- 

 rere a trasformazioni. Le proposizioni 1) 2) 3) si possono dimostrare nel modo che qui 

 viene rapidamente accennato. 



Sieno (p, ip due polinomi d'ordine s aggiunti alla curva f d'ordine m dotata di 

 punti multipli ordinari d'ordine r r . ..; i punti doppi della serie lineare 



<p{xy) 



K 



sopra 



ip {xy) 



f(xy) = 0, 

 si ottengono eliminando K fra le equazioni 



<p{poy)~ Kìp{xy) 



frp__ò(pì)y__ _ K 

 ì)x ciy ì)f 



i)X 



Ùìp Ì!lp ÙX 



eia; ~òy ì)f 



Si vede così che essi sono le intersezioni di 



f{xy) = 



colla jacobiana 



J((pipf) = 



<P $ f 



iKp Zip ùf 



~ì>x ~ÒX ÒX 



ì(p Zip ùf 

 ì)y ùx ìty 



= 0, 



resultato che ha anche una evidente giustificazione geometrica. 



