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Queste, se non sono identità, danno ognuna per il rapporto % : il medesimo 

 valore costante a : a , e conseguentemente per x l : X il valore costante b x : & 3 come- 

 si era sopra trovato. 



Ma se, invece, le (17) sono identicamente soddisfatte, dovranno contemporaneamente 

 aver luogo 1' eguaglianze : 



( « 2 fl 3 = — &D o 8 a 8 ='0, c 2 c 3 = 0, a 3 c 2 =^& 1? 

 0^) { 



f « 2 c i = & 3 , Oj « 2 = , e, c 2 = , a x c 2 = — 6 3 , 



le quali, come andiamo ora a provare, mostrano che le curve si corrispondono per 

 parallelismo delle normali principali. 



Da esse infatti si deduce che dovrà essere a, = ; giacche, supposto a =|= 0, 

 seguirebbe a l = 0, a = e quindi & 9 == o^ c 3 — « 3 Cj = ; mentre b 2 è diverso da 

 zero; e poiché lo stesso ragionamento vale per c g , segue dalle (18) medesime che 

 dovrà essere 6, = 0, & 3 = 0. 



Avendosi dunque 



a 2 — , &, = , & 3 = -, c 2 = , 



sarà &, = ±1, vale a dire le normali principali nei punti corrispondenti delle due 

 curve saranno parallele tra loro come avevamo affermato. 



Suppongasi finalmente 



& 9 z= a { c 3 — a 3 c l = : 



ciò vuol dire che le (16) si riducono ali" unica equazione 



c 3 x — a s 6 = , 



da cui, se a. A e c 3 sono diversi da zero, si deduce subito che la C è un' elica, come 

 pure sarà un' elica la corrispondente curva C . 



È lecito quindi concludere : Escluse le curve che si corrispondono per parallelismo 

 delle normali principali, le uniche curve per le quali le direzioni principali nei punti 

 corrispondenti formano tra loro angoli costanti sono le eliche cilindriche. 



^geassgk*- 



Serie MI. Tomo VII. 1909-10. - 16 



