SU ALCUNE QUESTIONI DI CALCOLO FUNZIONALE 



MEMORIA 



PROF. CESARE ARZELÀ 



(letta nella Sessione del 16 Gennaio 1910) 



In questa memoria considero la varietà di tutte le funzioni y ■= y(x) passanti per 

 due punti fissi P e P 2 e sodisfacenti alla condizione 



< 5* - h ^ L , 



e contenute in una regione determinata del piano. Estendo, a questa varietà, la vali- 

 dità dal lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni, e ricerco poi il minimo, o 

 il massimo, dell' integrale 



J.x 2 

 f(x, y)dx 



funzione delle linee y = y{x) della varietà anzidetta (*). 

 Vi è dimostrata la proposizione : 

 Per la 



. IX, 



esiste nella varietà almeno una, funzione y = y (x) che dà il minimo di I(y): e questa 

 y (x), se è interna alla varietà, o se ha in comune con una delle estreme un gruppo 

 di punti rinchiudane, sodisfa all' equazione funzionale 



f y (x, y{x)) — , 



(*) Il lavoro è un'applicazione del teorema: nella varietà che si considera vi è un ente in cui la 

 funzione continua I(j) raggiunge il suo massimo e un ente in cui raggiunge il minimo. 



Ho dimostrato questa proposizione nella nota « Sulle funzioni di linee » pubblicata nei Ren- 

 diconti dei Lincei per l'anno 1889: poi nelle Memorie dell'Accademia delle Scienze di Bologna per 

 l'anno 1895. Veggasi Frechet nel suo bel lavoro « Sur quelques points du Calcul Fonctionnel » 

 nel Circolo matematico di Palermo (1906): dove la proposizione è data in forma più generale. Di tale 

 « principio di minimo » già feci applicazione p. es. nella memoria stessa del 1895 e più tardi poi 

 nella nota « Sul principio di Dirichlet » nei Rendiconti di Bologna 1897 . 



Coi segni f y e f y>v indicansi rispettivamente i due -z- é -r- 2 . 



Serie VI. Tomo VII. 1909-10. 39 



