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in tutto Xj . . . . x , fatta al più eccezione di tratti di essa y (x) rettilinei di cofficiente 

 angolare ì, o L, se in essi la f y (x. y (x)) non è sempre di un segno: dovendo però, 

 in ognuno degli stessi essere nullo l'integrale della f y (x, y (x)). 

 E vale la reciproca. 



1, Nel calcolo delle variazioni è fondamentale il lemma : 



Se M è una funzione di x, die è continua in x, . . . . x , ed è 



n 



.' x 1 



yMdoo = 



per ogni funzione q che in x l e x 9 si annulla e in x 1 . . . . x ha una derivata con- 

 tinua, allora dev" essere 



■M = , 

 in x, . . . . x 2 (*). 



Se si restringe il campo nel quale la funzione y può essere scelta, allora non si 

 può a priori asserire che la proposizione continui ad essere vera. 

 Ci occupiamo ora di tale questione. 



2. Sia definita una varietà di funzioni y = y(cc), da queste condizioni : ognuna di 

 esse passa pei punti fìssi (a? , y) e (x 91 y 2 ), e sodisfa alla relazione 



K y(^+A)-y( g ) 

 — h — 



per ogni x e x -+- h tra x e x , essendo l e L numeri dati : ognuna poi è contenuta 



per intero tra due determinate funzioni U(x) e V(x) pure sodisfacenti alle condizioni 



suespresse e sia U(x) ^> V(x); la varietà comprende tutte le funzioni possibili colle 



dette condizioni. 



Si osservi subito, ciò che veramente è ovvio, che tra due funzioni y^x) e yjx) 



appartenenti alla varietà con y x (x) <C y^po) ne esistono sempre infinite ; ad es. quelle 



/m\ a 

 che si possono costruire prendendo, per ogni x, la parte ( — I, m<C,n, del segmento 



y 9 (x) — y^x) e assumendo come estremo dell'ordinata, a partire dalla y^x), il punto 



lm 



estremo della detta parte ( — 



\ n 



La varietà è ]>erfetta e ben concatenata, o anche, come suol dirsi, compatta e chiusa. 

 La dimostrazione è ovvia. 



Diremo interna alla varietà una funzione y — y {x), che non ha punti comuni ne 

 con la U(x), ne con la V(x), all' infuori dei punti fissi (x v y { ) e (x 2 , y 2 ). 

 Un' altra funzione qualsiasi appartenente alla varietà si potrà indicare con 



(*) Bolza: Vorlesungen uber Variationsrechnuny, pag. 25, 2 a ed. 



