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dove o(.v) è continua, annullantesi per x — cc l , x = x % : e potrà essere positiva o 

 negativa, con condizione che il rapporto incrementale di y(x), rimanga sempre tra l e L, 

 questi inclusi. 



Sia M(x, y) una funzione di x e y continua in tutta la regione compresa tra 

 // = U{x) e y — V{.v). Se per y si intende sostituita una funzione y = y(x) di quelle 



della varietà, la M(x, y{x)~) diverrà una funzione continua di x in x r o . Ora, 



ecco la proposizione che dimostriamo : 



Se essendo y (x) una funzione interna alla varietà, e y(x) un' altra funzione qual- 

 siasi pure della varietà, si ha sempre 



(y{x) — y a {K)\M(x, y {x))dx = 0, 



necessariamente deve essere 



M(x, y Q (x)) = 

 in tutto x 1 . . . . x, . 



Ben si vede in che differisca il presente enunciato dal lemma fondamentale ri- 

 chiamato a principio : in questo la tf(x) era solamente soggetta a essere continua e 

 nulla negli estremi x y e x 2 : ora invece la ùj(x) è la variazione con cui dalla y {x) 

 interna alla varietà si passa alla y{x) che deve pure essere una funzione della varietà. 

 — L'arbitrarietà della o(x) e dunque limitata. 



3. Sia in un punto interno di x . . . . x , la M(jx:, y (x)j diversa da zero : lo sarà in 

 tutto un intorno £ . . . . £ e sarà di uno stesso segno. Allo scopo nostro occorre la co- 

 struzione di una a(x), alle condizioni dianzi dette, e che sia sempre di un segno in 

 ^....^g, o in una parte di questo, e fuori sia sempre nulla. Giacche, se una tale 

 <d(x) e determinata, si ha 



q(x) M(x, y {x)) dx = o(x) M(x, y {x)) dx 

 J ^i J Si 



e il secondo integrale, essendo i suoi elementi tutti di un segno, e non tutti nulli, 

 sarà esso pure diverso da zero : e allora non sarà nullo il primo, il che è contro 

 1' ipotesi. — In sostanza occorre la costruzione della v?(x), come nella dimostrazione 

 del lemma fondamentale : ma qui, essa q(x) deve essere la differenza tra due funzioni 

 opportune della varietà. 



4. Si consideri dunque una y = y (x) interna, come si è detto. La y (x), come 

 ogni altra funzione della varietà, essendo a variazione limitata, ammette derivata in 

 ogni punto, esclusi al più quelli di un gruppo di misura nulla : possiamo dunque sup- 

 porre (pur potendosene anche fare a meno) che £ e £ 9 siano punti in cui la y {x) ha 

 derivata compresa tra l e L. 



