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Nei punti £ x e £ 2 si conducano le tangenti alla y — y {x), e supponiamo che esse 

 non attraversino la curva nel punto di contatto : se ciò fosse, ci sposteremmo. Vi sarà 

 un intorno, sia pur piccolo, in cui la curva giace nell' angolo ottuso che la tangente 

 fa coli' asse x : o piuttosto, si può dire: se y t (&) indica l'ordinata della tangente, vi 

 sarà un' intorno del punto t, x e così del punto § 2 , tale che per ogni oc in esso si abbia 



'0 



ovvero 



Vtipo) — y Q {x) > 

 yloo) — y {x) < 0, 



salvo il punto di "contatto, nel quale ha luogo il segno =. E potrà nel punto £, 

 p. e. aver luogo la prima disuguaglianza e in £ 2 la seconda, o viceversa. 



1° Valga la y t {x) — y Q [oc) >• pei punti x in ^ — e x £ t -+- d x , e in 



£ 2 — oo 2 . . . . | 2 -+- d 2 . 

 L' eguaglianza 



Vt(po') — y {x) = y t {x") — y {x") 



è, evidentemente, verificata per infinite coppie di valori x e x" : x preso in 

 £j . . . . £, -+- 3 X , e x" in £ 2 — £,....£. Si fìssi una di tali coppie e sia r il valore 

 comune di quelle due differenze. 

 Si costruisca allora la funzione 



y(x) = y (x) -+- o{x) 



con la seguente legge : da x x a ^ sia o(x) = : da ^ a x sia o(x) = y t {x) — y {&) ' 

 da x a x" , o(x) ■■= r : da x" a | g sia o(x) = y t (x) — y {&) « da £ 2 a x 2 , o(x) = 0. 



La y{x) così costruita, appartiene alla varietà e ha con la y {x) una variazione 

 sempre nulla, fuorché in £....£,, dove la variazione è positiva. 



Osserv. - - Prima di passare agli altri casi, merita uno schiarimento il rapporto 



f^ + Q — nti—h) 



k -+- h 



relativo al punto £, , e gli altri analoghi pei punti £„, ^-\-x\ | 2 — a?", cioè i rap- 

 porti corrispondenti a coppie di punti presi l'uno a destra, l'altro a sinistra di questi 

 singoli punti. 



Si noti che è 



f(^~ h k)—f^ l ) = k.A(x,k) 



indicando A(x, k) un valore intermedio fra l e L : 



fC^) — r(^ — h) = h.À(x, u), 



A.(x, li) avendo significato analogo. 

 Sommando, si ha 



nz x -+- k) — f(i l — h) = k a (a, *) -+- hi (x, h) 



