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A?, ±_ ^ AS,-*) = * a K *) -h ^ A K A) 



e ciò mostra che è anche 





compreso tra £, L : come è richiesto per una funzione della varietà. 

 2° Valga ora la seconda diseguaglianza 



yt{x) — y {oc) < 



negli intorni anzidetti per £ e £ 2 rispettivamente. 



Poiché è 2/ (a?) — ìhi-v) >> anche pei punti a? di un intorno £ — e x . . . . §j si 

 consideri ivi un punto x in cui è y (x') — y t (x) = r, r potendo pure essere piccolo 

 come vuoisi : parimente fra £ 2 e t, -^-d l vi sarà un punto x' in cui è y {x") — y t (x") = r: 

 e adora tra £ e £ 2 si accresca l'ordinata di 2/ (a?) per r. Negli estremi (£ 2/ ^i) _,_ r ) 

 e ($, 2/ (£ 2 ) H-y) dell" arco così costruito si conducano le tangenti rispettive, le quali 

 saranno parallele a quelle all'arco della y — y (x) nei punti (£ , y {^ ì )') e (£,. y (| 2 )) : 

 epperò le dette tangenti incontreranno sicuramente la curva primitiva y = ?/ (^ ; ) nei 

 punti (a?', v/ (a?')) a sinistra di § e (a?", y {x"f) a destra di £ . Ciò [tosto, si consi- 

 deri la funzione y[x) ■=. ylpo) -+- a(x) definita con questa legge : essa coincide con y [x) 

 per x da x a x ; da a?' a £ essa è ?/ f (.r) -+- r ; da £ a £ 2 è ?/ (a?) -I- r : da £ a a?" 

 è y t [x) -+- r ; e infine da a;" a a? 9 coincide con la yJx) ; ed ecco con ciò costruita 

 la y(x) appartenente alla varietà e che dà una o{x) sempre nulla fuor che nel tratto 

 x' .... x" dove è positiva: e si noti che i tratti x — £ e £ — x" possono, insieme 

 con r. rendersi così piccoli che gli integrali 



co {x) . M (x, ij {x)) dx e a {x) . M (x , y (x)) dx 



siano infinitamente piccoli rispetto all'altro 



a(x) . M(x, y {x)) dx 





che è, per ipotesi, maggiore di zero. 



Osserv. — Si potrebbe ottenere una q(x) negativa in £ . . . . £ 2 e nulla fuori, con 

 costruzione analoga a quella dei c?si precedenti e pel nostro scopo servirebbe egualmente. 

 3° Il 3° caso è quello in cui in un intorno £....£ h-^ si ha y t {x) — Ì/ { J; ) > 0, 

 mentre in £....£-+- d' 9 è y t {x) — yÀp) <C 0. Allora si segna, nel primo intorno detto, 

 un punto x in cui è y t {x) — y {x) = r, r essendo fisso e abbastanza piccolo; tra 

 £, e § 2 -+- <^ 2 c * sar ^ P°i i' punto x" in cui è y (x") — y t (x") =r. La y(x) sarà 

 definita così ; tra x e £ coincide con la y (x), tra | e x con la // f (a?) : tra x e 



