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x" con la y Q {oa)-\-r, fra x' e x 2 con la y (x) : e la o(.t) = ?/(.'>•) — y {x) sodisferà 

 alla condizione richiesta. L' integrale 



x n 



j o{x)M(x ì y(x)}dx 



può farsi piccolo come vuoisi, insieme con r, rispetto all' altro 



•Et 



o (a?) M(x, y {x)) da? • 





Osserv. — Se in un punto £ } sia a sinistra f/ (a?) — zM^) < e a destra 

 y (x) — y t {x) > 0', ovvero viceversa; e nell'altro | si verifichi il fatto analogo, 

 oppure uno di quelli precedentemente considerati, è presto veduto che è applicabile 

 o T una o l' altra delle costruzioni dianzi dette. 



4° Ancora è da considerarsi, che il tratto, in cui ilf(a?, y ( x )) conserva uno 

 stesso segno, sia rettilineo. 



Il coefficiente angolare del tratto rettilineo sia intermedio fra l e L, e allora si 

 può sempre adattare al tratto, o a una parte di esso, una variazione positiva o nega- 

 tiva, per la quale la y(x) — y (x) -+- o{x) non esce dalla varietà. Per es. prendendo 

 ro{x) = tra x x e ^ e da £ 2 a x 2 , mentre si fa o(x) = (x — £ t ) 2 (x — £ ) 2 tra £ 

 e £ 2 : si vede bene che è (©(a?)) < là e (©'(a?)) < h? con h = £ — £ ; e A po- 

 tendosi scegliere piccolo come vuoisi, y(x) cadrà sempre dentro la varietà. 



Questa costruzione di a(x) non sarà possibile se il coefficiente angolare è l ov- 

 vero L : ma in questo caso il tratto stesso sarà continuato a sinistra e a destra con 

 tratti curvilinei, o almeno non giacenti sulla retta su cui giace £ . ...£ 2 . 1° essi i i° 

 continuazione, si avranno a sinistra di £ e a destra di £ or tratti in cui il coefficiente 

 angolare della tangente è, in ambedue, inferiore a L, ovvero superiore a l. 



Per fissare le idee, si consideri che sia superiore a l : si può considerare una 

 variazione o(x) che è nulla per tutto fuorché in £ . ...£ 2 , dove essa è ottenuta con- 

 ducendo in £ 19 per es. una retta di coefficiente angolare eguale a quello della tangente 

 in un punto a sinistra di £ o anche di ^ ; e preso su tale retta un segmento che 

 può essere di piccolezza arbitraria, dall' estremità di questo tirando poi una retta 

 parallela alla £ . . . . £ 2 sino all' incontro a destra di |, col tratto che esce a destra 

 di £ 2 o anche sino all' incontro in un punto a sinistra di £ 2 con la tangente al tratto 

 stesso ; e allora si ha che deve essere 



l 



o(x) M(x, ?/ (a?)) dx = 



Si 



£a' essendo l'ascissa del punto d'incontro ora detto: e di qui, per essere in £....£„, 

 M(x, 2/ () (a?)) sempre di un segno e o(x) pure, deriva infine 



M(x, y Q (x)) = 0, 

 essendo £ 2 ' prossimo quando vuoisi a £ . 



