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Se è possibile, in un tratto appartenente a un intervallo cc 1 . . . . £' , £',' .... P 2ì ... . 

 sia M(oc, y {x)) diversa da zero e di un segno : siamo in un tratto completamente 

 interno della y {x) '■ con una delle costruzioni precedenti si può adattare a quel tratto 

 una variazione positiva, ovvero negativa e fuori per tutto nulla : e se ne trae che in 

 quel tratto deve essere sempre 



M(cc, y Q (x)) = : 



così si vede che questa eguaglianza deve verificarsi in tutti gli intervalli 



r P P' P 



■■'■ i • • • • Si ; Si • • • • S-2) • • • • 



e per la continuità dovrà poi essere anche in ciascuno dei x s . 



Ancora, se la y (x) ha parti in comune con ìa U(x) o con la V(x), se p x . . . . q x 

 è una parte della y (x) perfettamente interna, e 1' integrale 



&(x) M{x, y Q {x)) dx = 

 Pi 



esteso all'arco di curva y {x) fra gli estremi p l e q l , deve pure essere in ogni punto x 

 M(x, y (x)) = 0. 



Osserv. — Se si voglia considerare il procedimento qui esposto, è da osservarsi 

 che propriamente alla conclusione che deve essere M(x, y () (x)') = in ogni punto x 

 tra x x e x 9 , si è pervenuti mostrando la possibilità della costruzione della anzidetta a(x), 

 sia positiva, sia negativa, e nulla negli estremi £ p ^ di un tratto qualsiasi. Solamente 

 ha fatto eccezione il caso in cui il tratto £ . ; . . | è interno a un tratto rettilineo di 

 coefficiente angolare /, o L. In tale caso il tratto stesso £....£, è considerato come 

 differenza di due tratti nei quali la costruzione anzidetta della o(x) è possibile. 



Ecco, così ottenuta la estensione propostaci per il lemma fondamentale. 



7. È facile mostrare che vale anche il lemma di Du Boys Reymond. 



Se y = y (x) è una funzione interna alla varietà e y(x) un'altra funzione qual- 

 siasi pure della varietà, ed è per ogni 7? = y(x) — y (x) sempre 



r x 2 



J X, 



ne segue che dev'essere M(x, y (x)) = cost. 



La ben nota costruzione di Hilbert che consiste nel l'applicare a un tratto di 

 curva y = y (x) una variazione composta di un tratto saliente, di uno costante, e di 

 uno discendente,, è qui pure applicabile, come presto è veduto; eccezion fatta per un tratto 

 della y = y {x) interno a un tratto rettilineo di coefficiente angolare l, ovvero L: ma 

 allora ci si valga della costruzione già fatta precedentemente nel caso analogo. Nella 



figura a si segni la proiezione A del punto l su £, | 2 , e lungo il tratto di curva 



y = y Q (x) da P 2 a Xz suppongasi la y {x) sempre crescente; il (ratto stesso del resto 



