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può essere piccolissimo. — Si avrà la variazione y, cioè % x l %'.> f;' 2 in figura, applicata 

 alla y = ij (.x;) ì da | t a | 8 . È per dato 



I V M (x, y {v)) dx +- (V M(.v, y Q (x)) dx -+- | ^ i¥(a?, */ (a?)) dx — 



fra /l e | 2 , per costruzione, è iq costante : tra |, e A è »p crescente; fra | 2 e Q e r l 

 decrescente ; quindi, queir eguaglianza si riduce a 



M{x\ y {x))dx ir] dx -+- M (x" , y {x")) [r? dx = 



dove x ex' sono rispettivamente punti tra £ e À, e tra | g e q. 

 E ancora, se è r il valore della variazione in a....| 2 , 



M(x', y Q (x')) . r -+- M(x", y Q (x")) (— r) = 0, 

 donde 



M{x', y (x')) — M(x", y (x")) = 



il punto a?' può supporsi prossimo come vuoisi a £ , e inoltre £ può essere un punto 

 qualsivoglia di §....£■: il punto .»" prossimo come vuoisi a £9 5 ^ a ^ c ' ie segue che 

 in tutti -i punti di À f a la ili" (.-*;, 2/ (a?)) ha il valore che ha nel punto | 2 . 



8. Si consideri ora 1' integrale 



J.r, 

 f(x, y)dx 



dove f(x ì y) è una funzione continua nelle x e y, e x { e x % sono numeri fissi. 



Si ponga per y una funzione y(x) della x, continua : la f{x, y(x)~) sarà funzione 

 continua della x e 1' integrale I(y) avrà un valore determinato per ogni funzione y(x) : 

 sarà esso una funzione di linea y — y(x). 



Considereremo 1' integrale anzidetto nella varietà di linee definita a principio, e 

 questa varietà sarà il campo degli enti, dentro cui è funzione 1' integrale. 



Si osservi subito che se d 17 d 2: . . . . d n sono un sistema di parti in cui è diviso 

 l'intervallo x l . . . . x 2 e y^x), y 2 [x) sono due funzioni della varietà 



2d s f(x s , y^x,)) e 2d s f{x s , y 2 {x s )) 



x s punto appartenente a d s , potranno farsi prossime quanto si vuole fra loro, se tali 

 sono y x {x) e y 2 (x) : quindi altrettanto accadrà degli integrali 



I{y x ) e I(y 2 ) 

 donde discende la continuità della I(y) nella varietà definita. 



