— 308 — 



9. Richiamiamo il teorema già menzionato : « nella varietà che si considera vi 

 è un ente in cui la funzione continua l(y) raggiunge il suo massimo e un ente in cui 

 raggiunge il minimo ». 



Sia y — y (x) la linea che dà il minimo, o il massimo, di I(y) e sia interna alla 

 varietà. 



Un'altra funzione qualsiasi appartenente alla varietà si potrà indicare con 



y{x) = y {x) -+- q(x) 



dove a(x) e continua, nulla in x 1 e x e tale che y(x) non esca dalla varietà. 



Sia 



!{y) = fi 00 , vi 00 )) dj ° 



e 



&I= Il f(pc, y{oò) H- o{oo)) — f(x, y(x)) dx 

 J &1 



= j q{cg) . f y {x, y(x) -+- 6(x) a(x)) dx 



se f y è la derivata in y della f(x, y) e della quale sola ora supponiamo la esistenza e 

 la continuità: 6{x) una funzione sempre tra e 1. 



Esistendo interna nella varietà la y (x) che dà il minimo di I(y), dovrà essere 



r x 2 



A Iy B = J q(x) . fy(x, y (x) ■+• 0{x)q(x)) dx 



sempre maggiore o eguale a zero per qualsiasi o(x) che rende y {x) -+- o(x) una fun- 

 zione della varietà. 



È necessario perciò che sia 



/. 



X<i 



(o(x) f y (x, y (x)) dx = 



i 



almeno per le o(x) abbastanza piccole. 



Vi sia un tratto £ £ in cui f y (x, y {x)) è sempre di un segno e con un 



minimo assoluto m maggiore di zero : allora si potrà, in base alle costruzioni sopra 

 descritte, come è detto nel]' Osserv. in fine del n.° 6, trovare una o(x) sempre di un 

 segno nel tratto ora detto, nulla in t e £ 2 e fuori del tratto : in modo che 



si riduca a 



a{x) f y (x, y (ot})) dx 



f3{oo).f y (x, y ó (x)) dx 



