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che avrà il segno del prodotto o{&)f y (x,y Q (xj), e questo potrà essere positivo o 

 negativo per la scelta delle o{x). 



D'altronde la o{x) potendo ancora essere scelta piccola come si vuole, la 

 f y (x, y {x) -+- 0(.r) g?(.* - )), sul tratto | : £ g , sarà del segno di f y (x, y (x)) e così 



J, 



o{x)f y (x, y {x) -+- 6{x) o(x)) dx 



cioè 



sarà del segno di 



o{x)fy{x ì y (x) -+- 6{x) o(x)) dx 



(o{x).f y (v, y {x)) dx 



e quindi anche negativo; il che non deve essere, se y (x) è la funzione che dà il 

 minimo. 



Dunque non deve esistere un tratto in cui f y (x, y {x)) è sempre di un segno: 

 epperò, senz' altro, è sempre nulla. 



Si può invocare, come eccezione, il caso che al tratto % x . . . . |„ non sia adatta- 

 bile una variazione o(x) positiva, o negativa a scelta, e annullatesi negli estremi. 



Ciò accadrà, se il tratto £....£ sarà interno a un tratto di y = y Q {x) rettilineo 

 e col coefficiente angolare minimo l o massimo L. 



IO. Ma allora si si potrà anche seguire il procedimento che segue. 

 Intanto, se la y =.y (x) fosse la retta congiungente i due estremi (a?^) e (x 2 y 2 ) 

 il suo coefficiente angolare dovrebbe essere intermedio fra l e L: nel percorso poi della 

 y = y Q (x) potranno esserci dei tratti col coefficiente angolare l e L solo in parti in- 

 terne, cioè non terminanti ai punti (xy^ e {x 2 y 2 ) ; e allora alle parti di y=zy Q (x) 

 non rettilinee sarà applicabile la costruzione di dianzi, e si avrà in esse sempre 



fyi®, y<k>°j) = °- 



Si consideri dunque che nella y = y (x) vi sia un tratto rettilineo col coefficiente 

 angolare per es. I : esso avrà dalle due parti archi della y = y (x), in cui il coeffi- 

 ciente angolare sarà, in punti prossimi agli estremi, maggiore di l. Al tratto retti- 

 lineo |j £ 2 si potrà applicare una variazione conducendo una retta, alla distanza r 



arbitraria, parallellamente a £ . . . . £„ e riattacando gli estremi di questo segmento, 

 eguale e prossimo come vuoisi al segmento £,.... £„, agli archi di y = y Q (x) che 

 escono da £ e da £ 2 rispettivamente : con costruzione analoga a quelle già usata al 

 n.° (5). I punti di ricongiungimento della parallela a 2j x . . . . § g con la y = y Q (x), siano 

 £'.... & 2 prossimi quanto si vuole a ^ e ^ 2 con la piccolezza di r, in modo che 



