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T intervallo £j £ó dei valori x è prossimo come vuoisi al dato L t, . Ora si 



avrà, nel caso nostro se è y n (x) = lx -+- b nel tratto £....£ 



J- X t 

 o{oo) f y (oc, y (x) -f- 6{x) q{x)) dx 

 x x 



= I Q(®)fy(&, y Q (M) ~+- 6(x)a(x)) dx = 



= I (3(x)f y {(K, y (x) -+• d(x) . q(x)) dx -+- 1 q(x) . f y (x, y Q (x) -+- 6(x)g)(x)) dx 



*J ?» «-/ §2 



J'?2 

 r fy{ x , y N -+- #( a; ) • r ) doc ; 

 gì 



J'Sl /~§2 

 , I sono, con r, infinitesimi di ordine superiore a quello del- 



V integrale I : epperò, air infuori degli infinitesimi con r di ordine superiore, si può 



J?i 

 scrivere 



rf y (x, Ix -+- b -4- 0(.*'')r) cfcr 



Si ' 



r"?2 /~§2 



= I r ,fy{x , Ix -+- b) dx -+- 1 r. \f y (x, lx -+- b -+- 0(a?) >') — / y (^, lx -\-b)\dx. 



Ora. I f y (x, lx -f- b) dx indipendente da r sia diverso da zero; allora è il 1° 

 termine che dà il segno a Al: giacche l'integrale 



I r \ f y (x, lx -+- b -+- 6(x) r) — f y {x, lx -+- b)\dx 



può farsi con r infinitesimo di ordine superiore a quello del 1° termine e, mutando 



/*§2 



segno a r, si muta segno a I rf y (x, lx -t- b) dx ; così si muta segno a Al. Dunque 

 se vi deve essere un massimo, o un minimo, dovrà essere 



ri? 



j f y (x, lx -+- b) dx = 



La f y (x, //„(■'•)), lungo un tratto rettilineo di coefficiente angolare l, ovvero L, 

 dev' essere quindi tale che il suo integrale esteso al tratto resulti nullo. Perciò se 

 f y {x ì lx -+- b) è sempre di un segno in tutto ^ . . . . £ 2 , allora deve . essere ivi 

 f y {x, lx -+- b) .— 0. 



