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11. 11 massimo, o il minimo potrebbero essere dati da una curva avente a comune 

 con una delle estreme una parte non rinchiudibile. 



Sulle estreme e su questa curva, si distinguano le parti in comune e quelle non 

 comuni : una almeno delle parti p . . . . g } distinte dall' estrema, e che ha i suoi punti 

 estremi su questa, darà all' integrale 



J ì 



f(x, y) d.r 

 Pi 



esteso lungo l'arco p . . . . q di curva che si considera, il valore massimo o minimo 



fra tutti gli archi cogli stessi estremi p 1 e q l , e appartenenti a curve della varietà. 



E allora, per quanto è stabilito precedentemente, quest'arco di curva y = y(x) 



sodisfarà all' equazione 



f y (x, y(x)) = . 



Riassumendo, si può enunciare : 



12. Definita una varietà di funzioni y = y(x), come è stato fatto precedentemente, 

 e considerato 



I (y) = \ f(&, «/(«)) dx 



quale funzione delle y(x), esiste nella varietà almeno una funzione y = y (x) che dà 

 il minimo di I(y) : e questa y (x), se è intei-na alla varietà, o se ha in comune con 

 ima delle estreme un gruppo di punti rinchiudibile, sodisfa all' equazione funzionale 



f y (x, y Q {oo)) — o 



in tutto Xj . . . . x,, fatta al più eccezione di tratti di essa y (x) rettilinei di coefficiente 

 angolare 1, o L, se in essi la f y (x, y (x)) non è sempre di un segno : dovendo però, 

 in ognuno degli stessi, l'integrale della f y (x, y (x)) essere nullo. 



13. Reciprocamente, esista interna alla varietà ima. y = y (x), che sodisfa alla 



fyfa, y {oc)) = 



in tutto il suo percorso, salvo al più, in tratti rettilinei, se ve ne sono, di coefficiente 

 angolare 1 o L pei quali è solo nidlo V integrale della f y (x, y (x)); allora questa y (x) 

 dà un minimo o un massimo di I(y), secondochè f y . y (x, y n (x)) è negativo, o positivo 

 in tu'.to x ..... x_ . 



Qui ora supponiamo che esista anche la derivata seconda f yv e che sia continua. 



Poiché avremo 



f*« 1 f-^-2 



AI = ©(.?;) . {f y {cc, y {ao)) dao-\--\ o{x) . f tJt y(a;, y (a>) -+- Q{oo) a{x)) dx 



